Um termômetro com constante de tempo de 15 segundos deverá ser usado para medir a temperatura de um líquido em um processo de fabricação. Sabe-se que o processo mantém o líquido entre 85 e 95^{\circ} \mathrm{C}, e que o termômetro estava inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que após 15 segundos mergulhado no líquido o termômetro acusava 69,3^{\circ} \mathrm{C}, verificar se a temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida 85 a 95^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Constante de tempo do termômetro: }\tau=15\\ \text{s},\\\ &\text{Temperatura inicial do termômetro: }T_0=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Leitura do termômetro após }t=15\\ \text{s}: T(15)=69{,}3^\circ\mathrm{C}.\\\ &\text{Faixa desejada do líquido: }85^\circ\mathrm{C}\le T_\infty \le 95^\circ\mathrm{C}, \end{aligned}ôôôóí
onde T_\infty é a temperatura do líquido (assumimos que o processo mantém a temperatura constante durante a medida). A tarefa é calcular T_\infty a partir dos dados e dizer se está dentro de [85,95]^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula usada (explicação didática).
Quando um termômetro é mergulhado em um líquido cuja temperatura é constante T_\infty, a temperatura do termômetro T(t) obedece à resposta de um sistema de primeira ordem (Lei de resfriamento/aquecimento de Newton linearizada). A solução para esse comportamento é:
T(t)=T_\infty + (T_0-T_\infty)\,e^{-t/\tau}.
Aqui:
  • T(t) é a temperatura indicada pelo termômetro no tempo t.
  • T_0 é a temperatura inicial do termômetro (antes de mergulhar).
  • T_\infty é a temperatura do líquido (valor de regime que queremos encontrar).
  • \tau é a constante de tempo do termômetro (medida de quão rápido ele se aproxima de T_\infty).
  • e^{-t/\tau} é o fator exponencial que descreve a aproximação: quanto maior t/\tau, mais perto de T_\infty fica o termômetro.
Observação útil: após um tempo igual a \tau o termômetro já percorre cerca de 1-\mathrm{e}^{-1}\approx0{,}632 (63,2%) da diferença entre T_0 e T_\infty.

Passo 3

Isolar T_\infty na fórmula (manobra algébrica para usar os dados).
Partimos de
T(t)=T_\infty + (T_0-T_\infty)\,e^{-t/\tau}.
Queremos T_\infty. Reorganizando:
T(t)=T_\infty\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)+T_0\,e^{-t/\tau}.
Isolando T_\infty:
T_\infty=\frac{T(t)-T_0\,e^{-t/\tau}}{1-e^{-t/\tau}}.
Essa fórmula é muito prática: ela diz que, com a leitura T(t) em tempo t, podemos estimar a temperatura do líquido T_\infty.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores do problema.
Usamos t=\tau=15\\ \text{s}, T(t)=69{,}3^\circ\mathrm{C} e T_0=20^\circ\mathrm{C}. Primeiro calculemos e^{-t/\tau}=e^{-1}:
e^{-1}\approx0{,}3678794412.
Agora plugamos na fórmula:
T_\infty=\frac{69{,}3-20\cdot e^{-1}}{1-e^{-1}}.

Passo 5

Calcular numericamente passo a passo (muito mastigado).
Calcule o numerador:
20\cdot e^{-1}=20\cdot 0{,}3678794412\approx7{,}357588824,
\text{numerador}=69{,}3-7{,}357588824\approx61{,}942411176.
Calcule o denominador:
1-e^{-1}\approx1-0{,}3678794412=0{,}6321205588.
Agora a divisão:
T_\infty\approx\frac{61{,}942411176}{0{,}6321205588}\approx97{,}99145\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com duas casas decimais obtemos T_\infty\approx97{,}99^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e verificação da faixa pedida.
A temperatura estimada do líquido é aproximadamente 97{,}99^\circ\mathrm{C}. A faixa desejada era entre 85^\circ\mathrm{C} e 95^\circ\mathrm{C}. Como
97{,}99^\circ\mathrm{C}>95^\circ\mathrm{C},
concluímos que o líquido está acima da faixa pretendida (ou seja, está quente demais).

Passo 7

Comentário prático e incentivo rápido.
Isso significa que, se os dados do enunciado estiverem corretos e o processo realmente manteve a temperatura constante durante a medição, o termômetro indica um valor que implica T_\infty acima do limite superior. Relaxa: o cálculo é directo — com a mesma fórmula você consegue fazer essa verificação rapidinho na prova. Força aí!

Resposta

T_\infty\approx97{,}99^\circ\mathrm{C}
Não — a temperatura do líquido está fora da faixa (está acima de 95^\circ\mathrm{C}).

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