Um termômetro com constante de tempo de 15 segundos deverá ser usado para medir a temperatura de um líquido em um processo de fabricação. Sabe-se que o processo mantém o líquido entre 85 e
, e que o termômetro estava inicialmente a
. Sabendo-se que após 15 segundos mergulhado no líquido o termômetro acusava
, verificar se a temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida
a
. Dados fornecidos:
onde
é a temperatura do líquido (assumimos que o processo mantém a temperatura constante durante a medida). A tarefa é calcular
a partir dos dados e dizer se está dentro de
.
Passo 2
Modelo físico e fórmula usada (explicação didática).
Quando um termômetro é mergulhado em um líquido cuja temperatura é constante , a temperatura do termômetro
obedece à resposta de um sistema de primeira ordem (Lei de resfriamento/aquecimento de Newton linearizada). A solução para esse comportamento é:
Quando um termômetro é mergulhado em um líquido cuja temperatura é constante
Aqui:
-
é a temperatura indicada pelo termômetro no tempo . -
é a temperatura inicial do termômetro (antes de mergulhar). -
é a temperatura do líquido (valor de regime que queremos encontrar). -
é a constante de tempo do termômetro (medida de quão rápido ele se aproxima de ). -
é o fator exponencial que descreve a aproximação: quanto maior , mais perto de fica o termômetro.
Observação útil: após um tempo igual a
o termômetro já percorre cerca de
(63,2%) da diferença entre
e
.
Passo 3
Isolar
na fórmula (manobra algébrica para usar os dados).
Partimos de
Partimos de
Queremos
. Reorganizando:
Isolando
:
Essa fórmula é muito prática: ela diz que, com a leitura
em tempo
, podemos estimar a temperatura do líquido
.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os valores do problema.
Usamos ,
e
. Primeiro calculemos
:
Usamos
Agora plugamos na fórmula:
Passo 5
Calcular numericamente passo a passo (muito mastigado).
Calcule o numerador:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Agora a divisão:
Arredondando com duas casas decimais obtemos
.
Passo 6
Interpretação e verificação da faixa pedida.
A temperatura estimada do líquido é aproximadamente . A faixa desejada era entre
e
. Como
A temperatura estimada do líquido é aproximadamente
concluímos que o líquido está acima da faixa pretendida (ou seja, está quente demais).
Passo 7
Comentário prático e incentivo rápido.
Isso significa que, se os dados do enunciado estiverem corretos e o processo realmente manteve a temperatura constante durante a medição, o termômetro indica um valor que implica acima do limite superior. Relaxa: o cálculo é directo — com a mesma fórmula você consegue fazer essa verificação rapidinho na prova. Força aí!
Isso significa que, se os dados do enunciado estiverem corretos e o processo realmente manteve a temperatura constante durante a medição, o termômetro indica um valor que implica
Resposta
Não — a temperatura do líquido está fora da faixa (está acima de