Termómetros de resistência elétrica são amplamente utilizados em vários tipos de aeronaves e seu princípio de funcionamento baseia-se na variação da resistividade elétrica de um elemento resistor acoplado ao componente que se deseja medir a temperatura.
Utilizando um material para o elemento resistor, de coeficiente de temperatura 5 \cdot 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, quando a temperatura do componente varia de 20^{\circ} \mathrm{C} a \theta, sua resistência elétrica aumenta, linearmente, para 1,6 do valor inicial.
Desprezando-se os efeitos de dilatação no elemento resistor, a temperatura \theta, registrada pelo termometro, indicada no painel da aeronave, em { }^{\circ} \mathrm{F}, vale
a) 20
b) 68
C) 140
d) 284

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma resposta numérica (em {}^\circ\mathrm{F}):
  • Coeficiente de temperatura do material: \alpha = 5 \cdot 10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Ao variar a temperatura de 20^\circ\mathrm{C} para \theta (em ^\circ\mathrm{C}), a resistência elétrica do elemento aumenta linearmente até 1{,}6 vezes o valor inicial.
  • Desprezam-se os efeitos de dilatação.
  • Pergunta: qual o valor de \theta indicado no painel, em ^\circ\mathrm{F}? (Opções: a) 20, b) 68, c) 140, d) 284.)

Passo 2

Entender a relação entre resistência e temperatura (a parte conceitual, explicada devagar).
  • Para muitos materiais a resistência varia aproximadamente de forma linear com a temperatura, segundo a fórmula
R(T)=R(T_0)\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr],
onde:
  • R(T) é a resistência à temperatura T,
  • R(T_0) é a resistência à temperatura de referência T_0,
  • \alpha é o coeficiente de temperatura (unidade: ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}),
  • T e T_0 estão em ^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação do \alpha: se \alpha=5\cdot10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, um aumento de 1^\circ\mathrm{C} faz a resistência crescer em 0{,}005 (ou 0{,}5\%) do valor naquele ponto de referência, aproximadamente.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado (a conta algebricamente).
  • Tomar T_0=20^\circ\mathrm{C} e T=\theta.
  • A razão entre a resistência final e a inicial é dada pelo enunciado: \dfrac{R(\theta)}{R(20)}=1{,}6.
  • Usando a fórmula:
\frac{R(\theta)}{R(20)}=1+\alpha\,(\theta-20).
  • Igualando:
1+\alpha\,(\theta-20)=1{,}6.
  • Subtrair 1 em ambos os lados:
\alpha\,(\theta-20)=0{,}6.
  • Isolar \theta-20:
\theta-20=\frac{0{,}6}{\alpha}.
  • Substituir \alpha=5\cdot10^{-3}:
\theta-20=\frac{0{,}6}{5\cdot10^{-3}}=\frac{0{,}6}{0{,}005}=120.
  • Portanto:
\theta=20+120=140^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Converter \theta de ^\circ\mathrm{C} para ^\circ\mathrm{F} (explicando a fórmula e mostrando a conta).
  • A fórmula de conversão é
F=\frac{9}{5}C+32,
onde C é a temperatura em ^\circ\mathrm{C} e F o valor correspondente em ^\circ\mathrm{F}.
  • Substituindo C=140:
F=\frac{9}{5}\cdot140+32.
  • Calcular \dfrac{9}{5}\cdot140: primeiro \dfrac{9}{5}=1{,}8, então 1{,}8\cdot140=252.
  • Somando 32:
F=252+32=284^\circ\mathrm{F}.

Resposta

d) 284

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