As terras ocupadas por um vilarejo estão limitadas em um lado por um rio e nos outros lados por montanhas, formando uma região que quando é modelada com um sistema de coordenadas pode ser representada aproximadamente pelas parábolas f(x)=\frac{x^{2}}{5} e g(x)= -\frac{2}{5} x^{2}+3 x, onde x e y estão em quilômetros. Sabendo que a densidade populacional (habitantes por \mathrm{km}^{2} ) deste vilarejo é de 95 pessoas.
a) Qual é a área ocupada pelo vilarejo?
b) E qual a sua população?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas que limitam a região ocupada pelo vilarejo e a densidade populacional. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • As curvas (fronteiras) são f(x)=\frac{x^{2}}{5}e g(x)=-\frac{2}{5}x^{2}+3x.Aqui x e y estão em quilômetros.
  • A densidade populacional é \,95 pessoas por \mathrm{km}^2, ou seja \,95\\ \text{habitantes/km}^2.
  • Perguntas:
    a) Qual é a área ocupada pelo vilarejo?
    b) Qual é a população total do vilarejo?

Passo 2

Primeiro é preciso achar os pontos de interseção entre as duas parábolas, pois a área entre curvas será calculada entre essas abscissas. Para isso iguala-se f(x) e g(x):
\frac{x^{2}}{5} = -\frac{2}{5}x^{2}+3x.
Multiplica ambos os lados por 5 para simplificar:
x^{2} = -2x^{2}+15x.
Reunindo termos:
x^{2}+2x^{2}-15x = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-15x=0.
Fatora 3x:
3x(x-5)=0.
Portanto as interseções ocorrem em
x=0 \quad\text{e}\quad x=5.
Isso significa que a região a ser considerada fica entre x=0 e x=5.

Passo 3

Agora a fórmula para a área entre duas curvas num intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.Áçãçã
É preciso identificar qual função é superior (maior valor de y) entre 0 e 5. Observando as expressões, para x>0 o termo linear 3x em g(x) tende a tornar g(x) maior que f(x); já confirmamos isso implicitamente ao achar que elas se cruzam apenas em 0 e 5. Então a integranda é g(x)-f(x):
g(x)-f(x)=\left(-\frac{2}{5}x^{2}+3x\right)-\left(\frac{x^{2}}{5}\right) = -\frac{3}{5}x^{2}+3x.
Logo
\text{Área}=\int_{0}^{5}\left(-\frac{3}{5}x^{2}+3x\right)\,dx.Á

Passo 4

Integramos termo a termo. Lembrete rápido de integral de potência: para x^{n} (com n\neq -1) vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando isso:
\int \left(-\frac{3}{5}x^{2}\right)\,dx = -\frac{3}{5}\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{1}{5}x^{3},
e
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}x^{2}.
Portanto uma primitiva da integranda é
-\frac{1}{5}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}.
Avalia-se de 0 a 5:
\text{Área}=\left[-\frac{1}{5}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{5} = \left(-\frac{1}{5}\cdot 5^{3}+\frac{3}{2}\cdot 5^{2}\right)-0.Á
Calculemos passo a passo:
5^{3}=125,\quad -\frac{1}{5}\cdot125 = -25.
5^{2}=25,\quad \frac{3}{2}\cdot25 = \frac{75}{2} = 37{,}5.
Somando:
-25 + 37{,}5 = 12{,}5.
Logo a área é \,12{,}5\\ \mathrm{km}^2 (ou \frac{25}{2}\\ \mathrm{km}^2).

Passo 5

Para achar a população usa-se a definição de densidade superficial: a população total é a densidade multiplicada pela área:
\text{População} = \text{densidade}\times\text{área}.çãá
Substituindo os valores (colocando a densidade e a área em notação conveniente):
\text{População} = 95\cdot 12{,}5 = 95\cdot\frac{25}{2}.çã
Calcule:
95\cdot 25 = 2375,\qquad \frac{2375}{2}=1187{,}5.
Isso dá \,1187{,}5 habitantes. Como pessoas vêm em unidades inteiras, arredonda-se normalmente para o inteiro mais próximo: \approx 1188 habitantes.
Dica rápida para prova: identifique interseções resolvendo f(x)=g(x), simplifique a integranda somando os polinômios, integre termo a termo usando a fórmula \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} e depois multiplique pela densidade.

Resposta

a) Área = 12{,}5\\ \mathrm{km}^2
b) População \approx 1188 habitantes (valor exato 1187{,}5, arredondado para 1188).

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