As terras ocupadas por um vilarejo estão limitadas em um lado por um rio e nos outros lados por montanhas, formando uma região que quando é modelada com um sistema de coordenadas pode ser representada aproximadamente pelas parábolas
e
, onde
e y estão em quilômetros. Sabendo que a densidade populacional (habitantes por
) deste vilarejo é de 95 pessoas.
a) Qual é a área ocupada pelo vilarejo?
b) E qual a sua população?
a) Qual é a área ocupada pelo vilarejo?
b) E qual a sua população?
Passo 1
O enunciado dá duas curvas que limitam a região ocupada pelo vilarejo e a densidade populacional. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- As curvas (fronteiras) são
e Aqui e estão em quilômetros. - A densidade populacional é
pessoas por , ou seja . - Perguntas:
a) Qual é a área ocupada pelo vilarejo?
b) Qual é a população total do vilarejo?
Passo 2
Primeiro é preciso achar os pontos de interseção entre as duas parábolas, pois a área entre curvas será calculada entre essas abscissas. Para isso iguala-se
e
:
Multiplica ambos os lados por
para simplificar:
Reunindo termos:
Fatora
:
Portanto as interseções ocorrem em
Isso significa que a região a ser considerada fica entre
e
.
Passo 3
Agora a fórmula para a área entre duas curvas num intervalo
é
É preciso identificar qual função é superior (maior valor de
) entre
e
. Observando as expressões, para
o termo linear
em
tende a tornar
maior que
; já confirmamos isso implicitamente ao achar que elas se cruzam apenas em
e
. Então a integranda é
:
Logo
Passo 4
Integramos termo a termo. Lembrete rápido de integral de potência: para
(com
) vale
Aplicando isso:
e
Portanto uma primitiva da integranda é
Avalia-se de
a
:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Logo a área é
(ou
).
Passo 5
Para achar a população usa-se a definição de densidade superficial: a população total é a densidade multiplicada pela área:
Substituindo os valores (colocando a densidade e a área em notação conveniente):
Calcule:
Isso dá
habitantes. Como pessoas vêm em unidades inteiras, arredonda-se normalmente para o inteiro mais próximo:
habitantes.
Dica rápida para prova: identifique interseções resolvendo
, simplifique a integranda somando os polinômios, integre termo a termo usando a fórmula
e depois multiplique pela densidade.
Resposta
a) Área =
b) População habitantes (valor exato
, arredondado para
).
b) População