Um terreno esta limitado por uma cerca reta e por um rio. Em diferentes distancias x (em metros) de uma extremidade da cerca, a largura do terreno y (em metros) foi medida tendo-se:
x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
y 0 22 41 53 38 17 10 7 2 0
Calcule a área aproximada do terreno usando a regra do trapézio repetida.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a área aproximada do terreno usando a regra do trapézio repetida.”
Forneceram medidas da largura y em diferentes distâncias x (em metros) a partir de uma extremidade da cerca. Os pares (x,y) são:
(0,0), (20,22), (40,41), (60,53), (80,38), (100,17), (120,10), (140,7), (160,2), (180,0).
Esses são todos os dados relevantes fornecidos.

Passo 2

Vamos explicar a regra do trapézio repetida de forma didática. A ideia é aproximar a região por trapezoides entre pontos consecutivos e somar as áreas desses trapezoides. Se os pontos estão igualmente espaçados no eixo x com passo h, e as alturas (larguras) são y_0,y_1,\dots,y_n, a fórmula compacta da regra do trapézio repetida é:
A \approx h\left(\frac{y_0+y_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} y_i\right).
Explicando cada coisa:
  • A é a área aproximada do terreno (em metros quadrados).
  • h é a distância entre pontos consecutivos em x (em metros).
  • y_0 é a largura na primeira posição ( x=0), y_n é a largura na última posição ( x=180).
  • \sum_{i=1}^{n-1} y_i é a soma de todas as larguras internas (exceto as extremas).
    A razão dessa fórmula: cada trapezoide tem área h\cdot\frac{y_{i-1}+y_i}{2}; somando todos e arrumando dá a fórmula acima.

Passo 3

Calcule o passo h. Observando os x: 0,20,40,\dots,180 vemos que a distância entre pontos consecutivos é sempre 20 m. Logo
h = 20\\ \text{m}.
Também contamos os pontos: são 10 pontos, então n=9 intervalos (de i=1 até 9).

Passo 4

Calcule a soma das larguras internas \sum_{i=1}^{n-1} y_i. As larguras internas são os y exceto as extremas y_0 e y_9, ou seja:
22,\,41,\,53,\,38,\,17,\,10,\,7,\,2.
Somando passo a passo (para não errar):
22+41 = 63,
63+53 = 116,
116+38 = 154,
154+17 = 171,
171+10 = 181,
181+7 = 188,
188+2 = 190.
Portanto
\sum_{i=1}^{n-1} y_i = 190.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2. Temos y_0=0 e y_n=0, h=20 e \sum_{i=1}^{n-1} y_i = 190. Substituindo:
A \approx 20\left(\frac{0+0}{2} + 190\right) = 20\cdot 190.
Calcule 20\cdot 190:
20\cdot 190 = 20\cdot(200-10) = 4000 - 200 = 3800.
Logo a área aproximada é 3800 metros quadrados (confirmação numérica obtida pela aplicação direta da fórmula).

Passo 6

(Verificação alternativa — somando as áreas de cada trapezoide) Para confirmar, podemos calcular cada área trapezoidal A_i = h\cdot\frac{y_{i-1}+y_i}{2} e somar:
A_1=20\cdot\frac{0+22}{2}=220
A_2=20\cdot\frac{22+41}{2}=630
A_3=20\cdot\frac{41+53}{2}=940
A_4=20\cdot\frac{53+38}{2}=910
A_5=20\cdot\frac{38+17}{2}=550
A_6=20\cdot\frac{17+10}{2}=270
A_7=20\cdot\frac{10+7}{2}=170
A_8=20\cdot\frac{7+2}{2}=90
A_9=20\cdot\frac{2+0}{2}=20
Somando todos: 220+630+940+910+550+270+170+90+20=3800. Confere com o resultado do passo anterior.

Passo 7

Bom trabalho! Apliquei a regra do trapézio repetida com todos os passos mostrados para você conseguir reproduzir na prova sem susto. Lembre-se: verifique sempre o espaçamento h e some corretamente as alturas internas — isso evita erros bobos e ganha pontos rapidamente.

Resposta

\;3800\\ \text{m}^2

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