Um terreno esta limitado por uma cerca reta e por um rio. Em diferentes distancias x (em metros) de uma extremidade da cerca, a largura do terreno y (em metros) foi medida tendo-se:
x
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
y
0
22
41
53
38
17
10
7
2
0
Calcule a área aproximada do terreno usando a regra do trapézio repetida.
| x | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 |
| y | 0 | 22 | 41 | 53 | 38 | 17 | 10 | 7 | 2 | 0 |
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a área aproximada do terreno usando a regra do trapézio repetida.”
Forneceram medidas da largura em diferentes distâncias
(em metros) a partir de uma extremidade da cerca. Os pares
são:
.
Esses são todos os dados relevantes fornecidos.
Forneceram medidas da largura
Esses são todos os dados relevantes fornecidos.
Passo 2
Vamos explicar a regra do trapézio repetida de forma didática. A ideia é aproximar a região por trapezoides entre pontos consecutivos e somar as áreas desses trapezoides. Se os pontos estão igualmente espaçados no eixo
com passo
, e as alturas (larguras) são
, a fórmula compacta da regra do trapézio repetida é:
Explicando cada coisa:
-
é a área aproximada do terreno (em metros quadrados). -
é a distância entre pontos consecutivos em (em metros). -
é a largura na primeira posição ( ), é a largura na última posição ( ). -
é a soma de todas as larguras internas (exceto as extremas).
A razão dessa fórmula: cada trapezoide tem área; somando todos e arrumando dá a fórmula acima.
Passo 3
Calcule o passo
. Observando os
:
vemos que a distância entre pontos consecutivos é sempre
m. Logo
Também contamos os pontos: são
pontos, então
intervalos (de
até
).
Passo 4
Calcule a soma das larguras internas
. As larguras internas são os
exceto as extremas
e
, ou seja:
Somando passo a passo (para não errar):
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2. Temos
e
,
e
. Substituindo:
Calcule
:
Logo a área aproximada é
metros quadrados (confirmação numérica obtida pela aplicação direta da fórmula).
Passo 6
(Verificação alternativa — somando as áreas de cada trapezoide) Para confirmar, podemos calcular cada área trapezoidal
e somar:
Somando todos: . Confere com o resultado do passo anterior.
Somando todos:
Passo 7
Bom trabalho! Apliquei a regra do trapézio repetida com todos os passos mostrados para você conseguir reproduzir na prova sem susto. Lembre-se: verifique sempre o espaçamento
e some corretamente as alturas internas — isso evita erros bobos e ganha pontos rapidamente.