Um terreno esta limitado por uma cerca reta e por um rio. Em diferentes distancias x (em metros) de uma extremidade da cerca, a largura do terreno y (em metros) foi medida tendo-se:
x
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
y
0
22
41
53
38
17
10
7
2
0
Calcule a área aproximada do terreno usando a regra
de Simpson repetida.
| x | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 |
| y | 0 | 22 | 41 | 53 | 38 | 17 | 10 | 7 | 2 | 0 |
Passo 1
O enunciado pergunta para calcular a área aproximada do terreno usando a regra de
de Simpson repetida. Os dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado) são as larguras
medidas em diferentes distâncias
da cerca:
Informações relevantes retiradas da tabela:
O objetivo é aproximar a área delimitada entre
e
usando a regra de Simpson composta, tomando cuidado com o número de subintervalos disponíveis.
Passo 2
Primeiro vamos analisar a malha de pontos e o número de subintervalos. As abscissas
estão igualmente espaçadas com passo
O número de subintervalos entre
e
é
porque temos 10 pontos (
a
). A regra composta de Simpson
exige que
seja par (ou seja, um número par de subintervalos). Aqui
é ímpar, portanto não é possível aplicar a regra de Simpson
diretamente em todo o intervalo
.
Decisão adotada (explico o porquê): como
é ímpar, a prática padrão é aplicar a regra de Simpson composta até o maior número par de subintervalos possível (aqui os primeiros 8 subintervalos, de
até
, ou seja de
a
) e tratar o subintervalo restante (
a
) com uma regra simples e precisa, normalmente a regra trapezoidal. Assim usaremos Simpson composta em
com
e trapezóide em
.
Passo 3
Vou ensinar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas sobre as fórmulas):
Regra composta de Simpson
para um número par
de subintervalos com passo
:
onde
.
O que cada símbolo significa:
-
é o passo entre os pontos ( aqui). -
e são os valores nas extremidades do intervalo considerado. - A soma com coeficiente
percorre todos os índices ímpares internos. - A soma com coeficiente
percorre todos os índices pares internos, exceto as extremidades.
Regra trapezoidal para um único subintervalo
de comprimento
:
Passo 4
Aplicamos Simpson composta no subintervalo
, que corresponde a
subintervalos e aos pontos
. Mantemos
.
Identificamos os termos:
Soma dos
com índices ímpares
:
Calculemos essa soma:
Logo
Soma dos
com índices pares internos
:
Calculemos:
Logo
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de Simpson composta para
:
Substituindo os valores encontrados:
Calculemos passo a passo:
Somando dentro do parênteses:
Portanto
Como
, temos
Então a área aproximada de
até
é
.
Passo 6
Agora tratamos o último subintervalo
(índices
e
). Usamos a regra trapezoidal, que para um subintervalo de comprimento
dá:
Substituindo
,
,
:
Portanto a área aproximada no último trecho é
.
Passo 7
Somamos as duas contribuições para obter a área total aproximada do terreno entre
e
:
A unidade é metro quadrado (
).