Um terreno esta limitado por uma cerca reta e por um rio. Em diferentes distancias x (em metros) de uma extremidade da cerca, a largura do terreno y (em metros) foi medida tendo-se:
x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
y 0 22 41 53 38 17 10 7 2 0
Calcule a área aproximada do terreno usando a regra 1 / 3 de Simpson repetida.

Passo 1

O enunciado pergunta para calcular a área aproximada do terreno usando a regra de 1/3 de Simpson repetida. Os dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado) são as larguras y medidas em diferentes distâncias x da cerca:
\begin{array}{cccccccccc} x & 0 & 20 & 40 & 60 & 80 & 100 & 120 & 140 & 160 & 180 \\\ y & 0 & 22 & 41 & 53 & 38 & 17 & 10 & 7 & 2 & 0 \end{array}
Informações relevantes retiradas da tabela:
x_0=0,\; x_1=20,\; x_2=40,\; \ldots,\; x_9=180,
y_0=0,\; y_1=22,\; y_2=41,\; y_3=53,\; y_4=38,\; y_5=17,\; y_6=10,\; y_7=7,\; y_8=2,\; y_9=0.
O objetivo é aproximar a área delimitada entre x=0 e x=180 usando a regra de Simpson composta, tomando cuidado com o número de subintervalos disponíveis.

Passo 2

Primeiro vamos analisar a malha de pontos e o número de subintervalos. As abscissas x estão igualmente espaçadas com passo
h = x_{i+1}-x_i = 20\\ \text{metros}.
O número de subintervalos entre x_0 e x_9 é
n = 9,
porque temos 10 pontos ( 0 a 9). A regra composta de Simpson 1/3 exige que n seja par (ou seja, um número par de subintervalos). Aqui n=9 é ímpar, portanto não é possível aplicar a regra de Simpson 1/3 diretamente em todo o intervalo [0,180].
Decisão adotada (explico o porquê): como n é ímpar, a prática padrão é aplicar a regra de Simpson composta até o maior número par de subintervalos possível (aqui os primeiros 8 subintervalos, de x_0 até x_8, ou seja de 0 a 160) e tratar o subintervalo restante ( 160 a 180) com uma regra simples e precisa, normalmente a regra trapezoidal. Assim usaremos Simpson composta em [0,160] com n=8 e trapezóide em [160,180].

Passo 3

Vou ensinar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas sobre as fórmulas):
Regra composta de Simpson 1/3 para um número par n de subintervalos com passo h:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left(f_0 + f_n + 4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f_i + 2\sum_{i\\ \text{par},\,i\ne 0,n} f_i\right),í
onde f_i=f(x_i).
O que cada símbolo significa:
  • h é o passo entre os pontos ( h=20 aqui).
  • f_0 e f_n são os valores nas extremidades do intervalo considerado.
  • A soma com coeficiente 4 percorre todos os índices ímpares internos.
  • A soma com coeficiente 2 percorre todos os índices pares internos, exceto as extremidades.
Regra trapezoidal para um único subintervalo [x_k,x_{k+1}] de comprimento h:
\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\,(f_k+f_{k+1}).

Passo 4

Aplicamos Simpson composta no subintervalo [0,160], que corresponde a n=8 subintervalos e aos pontos i=0,1,\dots,8. Mantemos h=20.
Identificamos os termos:
f_0=y_0=0,\qquad f_8=y_8=2.
Soma dos f_i com índices ímpares i=1,3,5,7:
f_1+y_3+f_5+f_7 = y_1+y_3+y_5+y_7 = 22 + 53 + 17 + 7.
Calculemos essa soma:
22 + 53 = 75,\quad 75 + 17 = 92,\quad 92 + 7 = 99.
Logo
\sum_{i\,\text{ímpar}} f_i = 99.í
Soma dos f_i com índices pares internos i=2,4,6:
y_2+y_4+y_6 = 41 + 38 + 10.
Calculemos:
41 + 38 = 79,\quad 79 + 10 = 89.
Logo
\sum_{i\,\text{par},\,i\ne 0,8} f_i = 89.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Simpson composta para [0,160]:
\text{Área}_{0\to160} \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + f_8 + 4\sum_{i\,\text{ímpar}} f_i + 2\sum_{i\,\text{par},\,i\ne 0,8} f_i\Big).Áí
Substituindo os valores encontrados:
\text{Área}_{0\to160} \approx \frac{20}{3}\big(0 + 2 + 4\cdot 99 + 2\cdot 89\big).Á
Calculemos passo a passo:
4\cdot 99 = 396,\qquad 2\cdot 89 = 178.
Somando dentro do parênteses:
0 + 2 + 396 + 178 = 576.
Portanto
\text{Área}_{0\to160} \approx \frac{20}{3}\cdot 576.Á
Como 576/3 = 192, temos
\text{Área}_{0\to160} \approx 20\cdot 192 = 3840.Á
Então a área aproximada de x=0 até x=160 é \,3840\\ \text{m}^2.

Passo 6

Agora tratamos o último subintervalo [160,180] (índices 8 e 9). Usamos a regra trapezoidal, que para um subintervalo de comprimento h dá:
\text{Área}_{160\to180} \approx \frac{h}{2}\,(f_8+f_9).Á
Substituindo h=20, f_8=y_8=2, f_9=y_9=0:
\text{Área}_{160\to180} \approx \frac{20}{2}\,(2+0) = 10\cdot 2 = 20.Á
Portanto a área aproximada no último trecho é \,20\\ \text{m}^2.

Passo 7

Somamos as duas contribuições para obter a área total aproximada do terreno entre x=0 e x=180:
\text{Área total} \approx \text{Área}_{0\to160} + \text{Área}_{160\to180} = 3840 + 20 = 3860.ÁÁÁ
A unidade é metro quadrado ( \text{m}^2).

Resposta

3860\\ \text{m}^2

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