4^{\text {a }} Questão ( 1.5 pontos): Determine os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y)=x y sujeita à condição x^{4}+y^{4}=32.
5^{\text {a }} Questão (4 pontos): Seja S a superfície definida pela equação
e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3} y^{2}+x^{3}-z^{3}+z=3-y .
Suponha z=f(x, y) função diferenciável definida implicitamente pela equação de S acima e tal que f(2,0)=2.
a) Determine a equação do plano tangente o o vetor normal à superfície no ponto (2,0).
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a S no ponto.
c) Determine a taxa de variação da função no ponto (2,0) e na direção do vetor (-3,2). Há crescimento ou decrescimento?
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Para a 4^{\text{a}} questão:
  • A função dada é f(x,y)=x y.
  • A restrição é x^{4}+y^{4}=32.
  • O que se pede: determinar os pontos de máximo e os pontos de mínimo de f sujeitos à restrição dada.
Para a 5^{\text{a}} questão:
  • A superfície S é dada pela equação
e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3}y^{2}+x^{3}-z^{3}+z=3-y.
  • Define-se F(x,y,z)=e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3}y^{2}+x^{3}-z^{3}+z-3+y, de modo que S é o nível F(x,y,z)=0.
  • Sabe-se que z=f(x,y) é função diferenciável implicitamente definida por F=0 e f(2,0)=2. Assim o ponto na superfície é (x,y,z)=(2,0,2).
  • Pede-se:
    (a) a equação do plano tangente em (2,0,2) e o vetor normal à superfície nesse ponto;
    (b) as equações paramétricas da reta normal a S nesse ponto;
    (c) a taxa de variação de f no ponto (2,0) na direção do vetor (-3,2) e se há crescimento ou decrescimento;
    (d) qual é a maior taxa de variação de f no ponto (valor e, se conveniente, a direção).

Passo 2

Teoria e método para a 4^{\text{a}} questão (extremos com restrição).
  • Quando queremos extremos de f(x,y) sujeitos a uma restrição g(x,y)=0, o método padrão é multiplicadores de Lagrange: procurar pontos onde existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
com g(x,y)=0.
  • Aqui f(x,y)=xy e g(x,y)=x^{4}+y^{4}-32.
  • Calcular gradientes (cada componente em TeX):
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=(y,x),
\nabla g(x,y)=\left(4x^{3},4y^{3}\right).
  • As equações de Lagrange são, portanto,
y = \lambda\,4x^{3},\qquad x = \lambda\,4y^{3},
junto com a restrição
x^{4}+y^{4}=32.

Passo 3

Resolvendo o sistema de Lagrange passo a passo.
  • Das duas equações para \lambda podemos escrever
\lambda=\dfrac{y}{4x^{3}}\quad\text{e}\quad \lambda=\dfrac{x}{4y^{3}}.
  • Igualando-as:
\dfrac{y}{4x^{3}}=\dfrac{x}{4y^{3}}\quad\Rightarrow\quad y\,y^{3}=x\,x^{3}\quad\Rightarrow\quad y^{4}=x^{4}.
  • Da igualdade y^{4}=x^{4} segue |y|=|x|, portanto as soluções possíveis satisfazem y=x ou y=-x, ou então podem ocorrer casos degenerados com x=0 ou y=0 (que precisaremos checar).
Caso 1: y=x.
  • Substituindo na restrição:
x^{4}+x^{4}=32 \quad\Rightarrow\quad 2x^{4}=32\quad\Rightarrow\quad x^{4}=16.
  • Como 16=2^{4}, tem-se x=\pm 2. Então os pontos são (2,2) e (-2,-2).
  • Em cada um f(x,y)=xy=x^{2}=4.
Caso 2: y=-x.
  • Substituindo:
x^{4}+(-x)^{4}=2x^{4}=32 \quad\Rightarrow\quad x^{4}=16,
então x=\pm 2 também. Isso gera os pontos (2,-2) e (-2,2).
  • Em cada um f(x,y)=xy=-x^{2}=-4.
Caso 3: x=0 ou y=0.
  • Se x=0 então da restrição y^{4}=32, logo y=\pm 32^{1/4}. Nestes pontos f=0.
  • Se y=0 então x=\pm 32^{1/4} e f=0.
  • Observação: 32^{1/4}=2^{5/4} (valor positivo), mas os valores de f nestes pontos são 0, que é menor que 4 e maior que -4.

Passo 4

Interpretação e conclusão para a 4^{\text{a}} questão.
  • Comparando os valores de f nos candidatos críticos:
    • pontos (2,2) e (-2,-2) dão f=4;
    • pontos (2,-2) e (-2,2) dão f=-4;
    • pontos com uma coordenada zero dão f=0.
  • Portanto f alcança máximo igual a 4 em (2,2) e (-2,-2), e mínimo igual a -4 em (2,-2) e (-2,2).

Passo 5

Preparação para a 5^{\text{a}} questão: usar diferenciação implícita e gradiente.
  • Definir F(x,y,z)=e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3}y^{2}+x^{3}-z^{3}+z-3+y. A superfície é F(x,y,z)=0.
  • Se z=f(x,y) localmente, então por diferenciação implícita
\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z},
onde F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F.
  • O vetor normal à superfície em um ponto pode ser tomado como \nabla F=(F_x,F_y,F_z) naquele ponto.
  • A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é
F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0.

Passo 6

Calcular F_x,F_y,F_z simbolicamente.
  • Derivando termo a termo:
    • Para e^{x^{2}-z^{2}}: \dfrac{\partial}{\partial x}=2x e^{x^{2}-z^{2}}, \dfrac{\partial}{\partial z}=-2z e^{x^{2}-z^{2}}.
    • Para x^{3}y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}=3x^{2}y^{2}, \dfrac{\partial}{\partial y}=2x^{3}y.
    • Para x^{3}: \dfrac{\partial}{\partial x}=3x^{2}.
    • Para -z^{3}: \dfrac{\partial}{\partial z}=-3z^{2}.
    • Para +z: \dfrac{\partial}{\partial z}=1.
    • Para +y: \dfrac{\partial}{\partial y}=1.
  • Reunindo:
F_x=2x e^{x^{2}-z^{2}}+3x^{2}y^{2}+3x^{2},
F_y=2x^{3}y+1,
F_z=-2z e^{x^{2}-z^{2}}-3z^{2}+1.

Passo 7

Avaliar F_x,F_y,F_z no ponto (2,0,2).
  • Primeiro observar que x^{2}-z^{2}=4-4=0, logo e^{x^{2}-z^{2}}=e^{0}=1.
  • Substituindo:
F_x(2,0,2)=2\cdot 2\cdot 1 + 3\cdot 2^{2}\cdot 0^{2} + 3\cdot 2^{2} =4 +0 +12 =16,
F_y(2,0,2)=2\cdot 2^{3}\cdot 0 + 1 =1,
F_z(2,0,2)=-2\cdot 2\cdot 1 -3\cdot 2^{2} +1 = -4 -12 +1 = -15.
  • Portanto o vetor normal à superfície em (2,0,2) é \nabla F(2,0,2)=(16,1,-15).

Passo 8

Equação do plano tangente e vetor normal (resolvendo (a)).
  • Usando a fórmula do plano tangente com (x_0,y_0,z_0)=(2,0,2) e os F avaliados:
16(x-2)+1(y-0)-15(z-2)=0.
  • Simplificando:
16x + y -15z -2 = 0.
  • O vetor normal é \mathbf{n}=(16,1,-15) (pode usar qualquer múltiplo).

Passo 9

Reta normal paramétrica (resolvendo (b)).
  • A reta normal passa por (2,0,2) na direção do vetor normal (16,1,-15). Tomando parâmetro t:
x(t)=2+16t,\qquad y(t)=0+1t=t,\qquad z(t)=2-15t.
  • Essas são as equações paramétricas da reta normal.

Passo 10

Taxa de variação direcional de f (resolvendo (c)).
  • A derivada direcional de f na direção de um vetor \mathbf{v} unitário \mathbf{u} é \mathrm{D}_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}, onde \nabla f=(f_x,f_y).
  • Aqui \nabla f(2,0)=(z_x,z_y)=\left(\dfrac{16}{15},\dfrac{1}{15}\right) porque z_x=-F_x/F_z e z_y=-F_y/F_z e já calculámos F_x=16, F_y=1, F_z=-15, logo
z_x=-\dfrac{16}{-15}=\dfrac{16}{15},\qquad z_y=-\dfrac{1}{-15}=\dfrac{1}{15}.
  • O vetor direção dado é \mathbf{v}=(-3,2). O vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}}\,(-3,2)=\dfrac{1}{\sqrt{13}}(-3,2).
  • A derivada direcional é
\mathrm{D}_{\mathbf{u}}f(2,0)=\nabla f(2,0)\cdot\mathbf{u} =\left(\dfrac{16}{15},\dfrac{1}{15}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{13}}(-3,2) =\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(-3\cdot\dfrac{16}{15}+2\cdot\dfrac{1}{15}\right).
  • Calcular o numerador:
-3\cdot\dfrac{16}{15}+2\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{-48+2}{15}=\dfrac{-46}{15}.
  • Logo
\mathrm{D}_{\mathbf{u}}f(2,0)=\dfrac{-46}{15\sqrt{13}}.
  • Como esse valor é negativo, há decrescimento da função f nessa direção.

Passo 11

Maior taxa de variação (resolvendo (d)).
  • A maior taxa de variação de f em um ponto é o comprimento do gradiente \nabla f nesse ponto:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1}\mathrm{D}_{\mathbf{u}}f(2,0)=\|\nabla f(2,0)\|.
  • Aqui \nabla f(2,0)=\left(\dfrac{16}{15},\dfrac{1}{15}\right), então
\|\nabla f(2,0)\|=\sqrt{\left(\dfrac{16}{15}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{15}\right)^{2}} =\dfrac{1}{15}\sqrt{16^{2}+1}=\dfrac{\sqrt{257}}{15}.
  • Essa taxa máxima ocorre na direção do próprio gradiente, isto é no vetor \left(\dfrac{16}{15},\dfrac{1}{15}\right) ou, em direção sem comprimento, em (16,1) normalizado para vetor unitário \dfrac{1}{\sqrt{257}}(16,1).

Resposta

4ª Questão: Máximos em (2,2) e (-2,-2) com valor 4; mínimos em (2,-2) e (-2,2) com valor -4.
5ª Questão (a) Plano tangente: 16x+y-15z-2=0. Vetor normal: (16,1,-15).
5ª Questão (b) Reta normal paramétrica: x=2+16t,\;y=t,\;z=2-15t.
5ª Questão (c) Taxa direcional em direção a (-3,2): \displaystyle \mathrm{D}_{\mathbf{u}}f(2,0)=\dfrac{-46}{15\sqrt{13}} (decresce).
5ª Questão (d) Maior taxa de variação: \displaystyle \|\nabla f(2,0)\|=\dfrac{\sqrt{257}}{15} (ocorre na direção do vetor (16,1), ou unitário \dfrac{1}{\sqrt{257}}(16,1)).

Exercícios relacionados