Questão ( 1.5 pontos): Determine os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeita à condição
.
Questão (4 pontos): Seja
a superfície definida pela equação
Suponha
função diferenciável definida implicitamente pela equação de
acima e tal que
.
a) Determine a equação do plano tangente o o vetor normal à superfície no ponto
.
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a
no ponto.
c) Determine a taxa de variação da função no ponto
e na direção do vetor
. Há crescimento ou decrescimento?
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?
a) Determine a equação do plano tangente o o vetor normal à superfície no ponto
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a
c) Determine a taxa de variação da função no ponto
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Para a
questão:
- A função dada é
. - A restrição é
. - O que se pede: determinar os pontos de máximo e os pontos de mínimo de
sujeitos à restrição dada.
Para a
questão:
- A superfície
é dada pela equação
- Define-se
, de modo que é o nível . - Sabe-se que
é função diferenciável implicitamente definida por e . Assim o ponto na superfície é . - Pede-se:
(a) a equação do plano tangente eme o vetor normal à superfície nesse ponto;
(b) as equações paramétricas da reta normal anesse ponto;
(c) a taxa de variação deno ponto na direção do vetor e se há crescimento ou decrescimento;
(d) qual é a maior taxa de variação deno ponto (valor e, se conveniente, a direção).
Passo 2
Teoria e método para a
questão (extremos com restrição).
- Quando queremos extremos de
sujeitos a uma restrição , o método padrão é multiplicadores de Lagrange: procurar pontos onde existe tal que
com
.
- Aqui
e . - Calcular gradientes (cada componente em TeX):
- As equações de Lagrange são, portanto,
junto com a restrição
Passo 3
Resolvendo o sistema de Lagrange passo a passo.
- Das duas equações para
podemos escrever
- Igualando-as:
- Da igualdade
segue , portanto as soluções possíveis satisfazem ou , ou então podem ocorrer casos degenerados com ou (que precisaremos checar).
Caso 1:
.
- Substituindo na restrição:
- Como
, tem-se . Então os pontos são e . - Em cada um
.
Caso 2:
.
- Substituindo:
então
também. Isso gera os pontos
e
.
- Em cada um
.
Caso 3:
ou
.
- Se
então da restrição , logo . Nestes pontos . - Se
então e . - Observação:
(valor positivo), mas os valores de nestes pontos são , que é menor que e maior que .
Passo 4
Interpretação e conclusão para a
questão.
- Comparando os valores de
nos candidatos críticos: - pontos
e dão ; - pontos
e dão ; - pontos com uma coordenada zero dão
.
- pontos
- Portanto
alcança máximo igual a em e , e mínimo igual a em e .
Passo 5
Preparação para a
questão: usar diferenciação implícita e gradiente.
- Definir
. A superfície é . - Se
localmente, então por diferenciação implícita
onde
são as derivadas parciais de
.
- O vetor normal à superfície em um ponto pode ser tomado como
naquele ponto. - A equação do plano tangente em
é
Passo 6
Calcular
simbolicamente.
- Derivando termo a termo:
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Reunindo:
Passo 7
Avaliar
no ponto
.
- Primeiro observar que
, logo . - Substituindo:
- Portanto o vetor normal à superfície em
é .
Passo 8
Equação do plano tangente e vetor normal (resolvendo (a)).
- Usando a fórmula do plano tangente com
e os avaliados:
- Simplificando:
- O vetor normal é
(pode usar qualquer múltiplo).
Passo 9
Reta normal paramétrica (resolvendo (b)).
- A reta normal passa por
na direção do vetor normal . Tomando parâmetro :
- Essas são as equações paramétricas da reta normal.
Passo 10
Taxa de variação direcional de
(resolvendo (c)).
- A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário é , onde . - Aqui
porque e e já calculámos , , , logo
- O vetor direção dado é
. O vetor unitário correspondente é
- A derivada direcional é
- Calcular o numerador:
- Logo
- Como esse valor é negativo, há decrescimento da função
nessa direção.
Passo 11
Maior taxa de variação (resolvendo (d)).
- A maior taxa de variação de
em um ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto:
- Aqui
, então
- Essa taxa máxima ocorre na direção do próprio gradiente, isto é no vetor
ou, em direção sem comprimento, em normalizado para vetor unitário .
Resposta
4ª Questão: Máximos em
e
com valor
; mínimos em
e
com valor
.
5ª Questão (a) Plano tangente: . Vetor normal:
.
5ª Questão (b) Reta normal paramétrica: .
5ª Questão (c) Taxa direcional em direção a :
(decresce).
5ª Questão (d) Maior taxa de variação: (ocorre na direção do vetor
, ou unitário
).
5ª Questão (a) Plano tangente:
5ª Questão (b) Reta normal paramétrica:
5ª Questão (c) Taxa direcional em direção a
5ª Questão (d) Maior taxa de variação: