Solve this problem exactly to find the normalized energy eigenstates and eigenvalues. (A spin-dependent Hamiltonian of this kind actually appears in crystal physics.) Is this Hamiltonian invariant under time reversal? How do the normalized eigenstates you obtained transform under time reversal?
Passo 1
O enunciado dá o Hamiltoniano de um spin 1:
H = A S_{z}^{2} + B\left(S_{x}^{2}-S_{y}^{2}\right).
Pede-se:
encontrar exatamente os autoestados normalizados e autovalores energéticos;
responder se H é invariante por reversão temporal;
dizer como os autoestados obtidos se transformam sob reversão temporal.
Informações relevantes fornecidas:
S_x,S_y,S_z são os operadores de spin para s=1;
constantes A e B são parâmetros reais (assume-se reais, típicos em física de cristais);
pede solução completa (autovalores e autovetores normalizados) e comportamento sob time reversal.
Passo 2
Escolho a base padrão dos autoestados de S_z, denotados por \lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle, com
S_z\lvert m\rangle = \hbar m \lvert m\rangle,\qquad m=1,0,-1.
É útil usar os operadores de criação/aniquilação S_{\pm}=S_x\pm iS_y. Para spin 1 vale a ação padrão
Verificação rápida: H\lvert\psi_{\pm}\rangle = \hbar^{2}(A\pm B)\lvert\psi_{\pm}\rangle, H\lvert\psi_{0}\rangle=0. Caso especial: se B=0 então E_{+}=E_{-}=\hbar^{2}A e há degenerescência entre os resultados; qualquer combinação linear dos vetores \lvert 1\rangle e \lvert -1\rangle será então autovetor.
Passo 6
Agora a reversão temporal. O operador de reversão temporal T é antiunitário e age em autoestados de \lvert s,m\rangle segundo a fórmula padrão de Wigner:
Observação física: como H é invariante por T, T leva autovetores de H em autovetores com mesmo autovalor. No nosso caso os três autovalores são, em geral, não degenerados (se B\neq 0 e A\pm B\neq 0), e cada autoestado é levado em si (possivelmente com sinal), conforme calculado. Não há degenerescência protegida por reversão temporal porque s é inteiro (sem Kramers degeneracy).