The initial state of a parcel of air is p=1000 \mathrm{mb}, T=30^{\circ} \mathrm{C}, w= 14 \mathrm{~g} \mathrm{~kg}^{-1}. Find
(e) T_{\text {eil }}

Passo 1

O enunciado dá o estado inicial do ar e pede um único valor: T_{\text{eil}}. As informações fornecidas são:
  • pressão inicial: p=1000\\ \mathrm{mb}.
  • temperatura inicial: T=30^\circ\mathrm{C}.
  • mixing ratio (razão de mistura): w=14\\ \mathrm{g\\ kg^{-1}}.
Vou usar esses dados sem pedir nada mais. Em particular preciso converter unidades quando necessário (por exemplo T para kelvin e w para kg/kg).

Passo 2

Entender o que é T_{\text{eil}} (aqui vou tratá-lo como a temperatura “equivalente” T_e, que é uma definição comum e pode ser calculada diretamente a partir de T e da razão de mistura w).
Definição prática e aproximação usada:
T_e \approx T + \frac{L_v\,r}{c_p},
onde:
  • T_e é a temperatura equivalente (em kelvin),
  • T é a temperatura real (em kelvin),
  • L_v é o calor latente de vaporização da água (em \mathrm{J\\ kg^{-1}}),
  • r é a razão de mistura em \mathrm{kg\\ kg^{-1}} (mesma coisa que w depois de convertido),
  • c_p é a capacidade térmica a pressão constante do ar seco (em \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}).
Explicação curta do motivo dessa fórmula: se todo o vapor d’água se condensasse liberando calor latente, esse calor elevaria a temperatura do ar; a parcela \dfrac{L_v r}{c_p} é uma estimativa direta dessa elevação (é uma aproximação linear válida para valores moderados de r).

Passo 3

Converter as unidades para uso na fórmula:
  • Converter T de graus Celsius para kelvin:
T = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter w de \mathrm{g\\ kg^{-1}} para \mathrm{kg\\ kg^{-1}}:
r = w = 14\\ \mathrm{g\\ kg^{-1}} = 14\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg\\ kg^{-1}} = 0{,}014\\ \mathrm{kg\\ kg^{-1}}.
  • Usar constantes típicas (valores usuais em meteorologia):
L_v \approx 2{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}},\qquad c_p \approx 1004\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.

Passo 4

Calcular a parcela \dfrac{L_v r}{c_p} que representa o aquecimento por condensação:
\frac{L_v\,r}{c_p} = \frac{2{,}5\times 10^{6}\times 0{,}014}{1004}.
Primeiro o numerador:
2{,}5\times 10^{6}\times 0{,}014 = 35{,}000.
Agora a divisão:
\frac{35{,}000}{1004} \approx 34{,}8606\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular T_e somando ao T em kelvin:
T_e \approx 303{,}15 + 34{,}8606 = 338{,}0106\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius (se desejar):
T_e - 273{,}15 = 338{,}0106 - 273{,}15 = 64{,}8606^\circ\mathrm{C}.
Pequena observação didática: essa fórmula dá a temperatura equivalente T_e. Existe também a temperatura potencial equivalente \theta_e (frequentemente pedida em provas), que incorpora variação de pressão e usa uma expressão exponencial; como a pressão aqui é 1000\\ \mathrm{mb} (ou seja, igual à referência p_0), a conversão entre \theta_e e T_e seria simples, mas o enunciado pediu diretamente T_{\text{eil}} — tratei como T_e.

Resposta

T_{\text{eil}} \approx 338{,}0\\ \mathrm{K} \;=\; 64{,}9^\circ\mathrm{C}

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