1 The inside diameters of bearings produced by a certain manufacturing process are known to have a standard deviation of a =0.0001 \mathrm{~cm}. A random sample of 15 bearings has an average inside diameter of 8.2535 cm . Construct a 95 \% two-sided confidence interval on the mean bearing diameter.

Passo 1

O enunciado pede que você construa um intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média do diâmetro interno dos rolamentos.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\bar{x}=8{,}2535\\ \text{cm}
n=15
\sigma=0{,}0001\\ \text{cm}
Ninguém pediu mais nada além do intervalo de confiança de 95\% para a média.

Passo 2

Qual fórmula usar (apenas apresentação da fórmula): quando a variância ou desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha para a média \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui cada símbolo significa:
\bar{x}\\ \text{é a média amostral},éé
z_{\alpha/2}\\ \text{é o quantil da distribuição normal padrão tal que }P(|Z|\le z_{\alpha/2})=1-\alpha,éçãã
\sigma\\ \text{é o desvio-padrão populacional (conhecido)},éã
n\\ \text{é o tamanho da amostra},é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\ \text{é o erro padrão da média (standard error)}.éãé
Explicação curta e didática: o intervalo diz que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho, aproximadamente 95\% desses intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média \mu.

Passo 3

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%. Para um intervalo de 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O valor crítico da normal padrão que deixa 2{,}5\% em cada cauda é
z_{0{,}025}=1{,}96.
Breve motivo: na tabela da normal padrão o ponto com área 0{,}975 à esquerda é 1{,}96.

Passo 4

Calcular a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{15}=3{,}872983346\\ \text{(aproximado)}.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}0001}{3{,}872983346}=0{,}00002581988897\\ \text{cm}\\ (\text{aprox.}).
Explicação: dividimos o desvio-padrão populacional pela raiz do tamanho da amostra para obter a variabilidade esperada da média amostral.

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando o erro padrão pelo quantil z:
\text{margem}=z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot 0{,}00002581988897=0{,}000050606982\\ \text{cm}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: é o quanto a média amostral pode variar para cima ou para baixo dentro do intervalo de confiança.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo subtraindo e somando a margem à média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=8{,}2535-0{,}000050606982=8{,}253449393018\\ \text{cm}.
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=8{,}2535+0{,}000050606982=8{,}253550606982\\ \text{cm}.

Passo 8

Arredondamento e forma final prática: como a margem é da ordem de 10^{-5}, faz sentido apresentar o intervalo com cinco casas decimais:
\bigl(8{,}25345,\\\ 8{,}25355\bigr)\\ \text{cm}.
Também podemos escrever de forma simétrica:
8{,}2535\pm 0{,}0000506\\ \text{cm}.

Resposta

\bigl(8{,}25345,\\\ 8{,}25355\bigr)\\ \text{cm}

Exercícios relacionados