The molar volume for a mixture of methanol (1) 1 water (2) at 298.15 K and 1 bar is given as V518.102118.491x1 14.1506 \times 21 where V is in units of \mathrm{cm} 3 / \mathrm{mol}.
What is the partial molar volume of methanol at this T and P when x_1 = 0.4 ?

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada uma expressão para o volume molar da mistura (unidades em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}). Interpreto a expressão escrita como a função quadrática
V(x_1)=58,1021-18,491\,x_1+14,1506\,x_1^{2}.
  • O enunciado pede: calcular o volume molar parcial de metanol (componente 1), \bar V_1, à temperatura e pressão dadas, quando x_1=0,4.

Passo 2

Explicação didática do conceito e da fórmula que vamos usar.
  • Definição: o volume molar da mistura V (por mol de mistura) relaciona-se com os volumes molares parciais \bar V_1 e \bar V_2 por
V = x_1\bar V_1 + x_2\bar V_2,
onde x_2=1-x_1.
  • Propriedade útil (derivação curta e clara):
    Diferenciando essa identidade em relação a x_1 (a T,P constantes) e usando o teorema de Gibbs–Duhem que implica x_1\,d\bar V_1 + x_2\,d\bar V_2=0, obtém-se
\frac{dV}{dx_1}=\bar V_1-\bar V_2.
Agora resolvendo para \bar V_1 (substituindo \bar V_2=\bar V_1-\tfrac{dV}{dx_1} na expressão para V) chega-se à fórmula prática
\bar V_1 = V + (1-x_1)\left(\frac{dV}{dx_1}\right)_{T,P}.
  • Interpretação: para obter \bar V_1 avalia-se o volume molar da mistura V na composição desejada e soma-se o termo corrector (1-x_1)\,dV/dx_1.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dV}{dx_1} a partir da função dada.
  • A função é
V(x_1)=58,1021-18,491\,x_1+14,1506\,x_1^{2}.
  • Derivando em relação a x_1:
\frac{dV}{dx_1}=-18,491+2\cdot14,1506\,x_1.
  • Avaliando em x_1=0,4:
\frac{dV}{dx_1}\Big|_{x_1=0,4}=-18,491+2\cdot14,1506\cdot0,4.
Calculemos passo a passo:
2\cdot14,1506=28,3012
28,3012\cdot0,4=11,32048
\frac{dV}{dx_1}\Big|_{x_1=0,4}=-18,491+11,32048=-7,17052\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.

Passo 4

Calcular V na composição x_1=0,4 e então \bar V_1.
  • Primeiro V(0,4):
V(0,4)=58,1021-18,491\cdot0,4+14,1506\cdot(0,4)^{2}.
Calculemos:
-18,491\cdot0,4=-7,3964
(0,4)^{2}=0,16
14,1506\cdot0,16=2,264096
V(0,4)=58,1021-7,3964+2,264096=52,969796\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.
  • Agora aplicando a fórmula
\bar V_1 = V + (1-x_1)\frac{dV}{dx_1}
com 1-x_1=0,6 e \dfrac{dV}{dx_1}\big|_{0,4}=-7,17052:
\bar V_1 = 52,969796 + 0,6\cdot(-7,17052).
0,6\cdot(-7,17052)=-4,302312
\bar V_1 = 52,969796-4,302312=48,667484\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.

Passo 5

Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza.
  • O valor obtido \bar V_1\approx48,67\\ \mathrm{cm^{3}/mol} é razoável como volume parcial de metanol na mistura (normalmente o volume molar do metanol puro é algumas dezenas de \mathrm{cm^{3}/mol}); o sinal negativo da derivada indica que o volume da mistura diminui ao aumentar x_1 naquela região, e o termo (1-x_1)\,dV/dx_1 reduz o valor de \bar V_1 em relação a V.

Resposta

\bar V_1=48,667484\\ \mathrm{cm^{3}/mol}

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