The temperature of saturated air at 1000 mb is 10^{\circ} \mathrm{C} as it begins to drop through radiation loss. As a result, some water vapor condenses and radiation fog forms. During the formation of fog, 12 \times 10^{3} \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}, of heat is lost to the surroundings. Find the final temperature and the decrease in vapor pressure.
Passo 1
O enunciado (em números claros) e o que se pede:
Pressão total do ar: \,p=1000\\ \text{mb}=100000\\ \mathrm{Pa}.
Estado inicial: ar saturado a \,T_i=10^\circ\mathrm{C}.
Durante a formação do nevoeiro, é perdido para o ambiente \,Q_{\text{out}}=12\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}} (isto é, por unidade de massa de ar húmido).
O que é pedido:
A temperatura final \,T_f do ar (após condensação parcial e perda de calor).
A diminuição da pressão de vapor saturante (isto é, \,\Delta e = e_i-e_f) durante esse processo.
Passo 2
Vamos escrever as relações físicas que vamos usar (explicando cada termo).
Definição de humidade específica (mistura) em função da pressão de vapor e:
q=\frac{0,622\,e}{p-e}.
Aqui q é a massa de vapor por massa de ar húmido (kg vapor / kg ar húmido), 0,622 é \varepsilon=R_d/R_v e p e e estão em Pa.
Aproximação útil: a entalpia específica aproximada do ar húmido pode ser escrita como
h\approx c_p T + L_v q,
onde c_p é o calor específico a pressão constante do ar húmido (usaremos c_p\approx1005\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}), L_v é o calor latente de vaporização (usar L_v\approx2{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}) e T em K (mas diferenças de temperatura em °C e K são numericamente iguais).
Balanço de energia por unidade de massa de ar húmido: a perda de calor para o ambiente é igual à diminuição de entalpia do sistema:
Q_{\text{out}} = -\Delta h = -\bigl(c_p(T_f-T_i) + L_v(q_f-q_i)\bigr).
onde T em ^\circ\mathrm{C}. (Multiplique por 100 para converter hPa \to Pa quando necessário.)
Comentário sobre método: a equação é não linear porque q_f depende não linearmente de T_f. Vou obter primeiro uma boa estimativa linearizada e depois melhorar com uma iteração (método de Newton simples), assim fica tudo controlado e didático.
Passo 3
Calcular as quantidades iniciais (pegando e_i da fórmula de Tetens e depois q_i).
Avaliação final rápida de F em T_f^{(1)}=4{,}32^\circ\mathrm{C} mostra que F fica muito próximo de zero (alguns joules por kg), logo a solução converge bem. Portanto a temperatura final é
T_f\approx 4{,}33^\circ\mathrm{C}.
Passo 6
Calcular a diminuição da pressão de vapor saturante.
e_i já tínhamos: \,e_i\approx 12{,}28\\ \text{hPa}.
Calcule e_f=e_{\text{sat}}(T_f) com T_f=4{,}33^\circ\mathrm{C} usando Tetens: