2 The tensile strength of a fiber used in manufacturing doth is of interest to the purchaser. Previous experience indicates that the standard deviation of tensile strength is 2 psi . A random sample of eight fiber specimens is selected and the average tensile strength is found to 127 psi . Construct a 95 \% lower confidence limit on the mean tensile strength

Passo 1

O enunciado pede um limite de confiança inferior a 95\% para a média da resistência à tração. As informações dadas são:
n = 8
\bar{x} = 127\\ \text{psi}
\sigma = 2\\ \text{psi}
\text{nível de confiança (inferior)} = 95\%íç
Ou seja, queremos encontrar um número L tal que com 95\% de confiança possamos afirmar que a média verdadeira \mu satisfaz \mu \ge L.

Passo 2

Conceito rápido e útil (do jeito tranquilo): quando a variância populacional é conhecida ( \sigma conhecida), a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Para construir um limite inferior unilaterais de confiança de nível 1-\alpha usamos a propriedade da normal padrão.
O padrão de construção vem de padronizar:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).
Queremos um L tal que
P(\mu \ge L)=1-\alpha.
Equivalente é achar z_{1-\alpha} tal que
P\!\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{1-\alpha}\right)=1-\alpha.
Rearranjando essa desigualdade para \mu obtemos a fórmula do limite inferior:
L=\bar{X}-z_{1-\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média amostral observada;
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{1-\alpha})=1-\alpha.
No nosso caso, nível de confiança 95\% unidirecional significa 1-\alpha=0,95 e portanto \alpha=0,05. O valor crítico da normal padrão é
z_{0,95}\approx 1,645.

Passo 3

Calcule o erro padrão da média (standard error):
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{8}}.
Simplificando \sqrt{8}=2\sqrt{2}, temos
\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071.

Passo 4

Calcule a margem subtraída (o termo z_{0,95}\cdot \sigma/\sqrt{n}):
\text{margem}=z_{0,95}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 1,645\times 0,7071\approx 1,1632.

Passo 5

Agora calcule o limite inferior:
L=\bar{x}-\text{margem}=127-1,1632\approx 125,8368.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (útil em provas e relatórios):
L\approx 125,84\\ \text{psi}.

Resposta

\text{Limite inferior de 95\%} = 125,84\\ \text{psi}

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