Uma tira de borracha com massa de 0,21 \mathrm{~g} é esticada entre dois dedos, posta sob uma tensão de 2,8 \mathrm{~N}. O comprimento total esticado da tira é de 21,3 \mathrm{~cm}. Um dos seus lados é beliscado, estabelecendo uma vibração em 8,7 \mathrm{~cm} do comprimento da tira esticada. Qual é a frequência de vibração mais baixa dessa parte da tira de borracha? Considere que a tira seja esticada uniformemente.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: massa da tira m=0,21\\ \mathrm{g}.
  • Dado: tensão na tira T=2,8\\ \mathrm{N}.
  • Dado: comprimento total esticado da tira L_{\text{total}}=21,3\\ \mathrm{cm}.
  • Dado: a porção da tira que vibra tem comprimento L_{\text{parte}}=8,7\\ \mathrm{cm}.
  • Pedido: determinar a frequência de vibração mais baixa (fundamental) dessa parte da tira.
Observação: vou assumir que a parte de comprimento L_{\text{parte}} vibra com suas extremidades fixas (modelo de corda/tira presa nas pontas), de modo que a frequência fundamental é a do primeiro modo dessa porção.

Passo 2

Primeiro convertemos todas as quantidades para unidades do Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas de ondas usam metros, quilogramas e segundos.
  • Converter massa:
m = 0,21\\ \mathrm{g} = 0,21\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} = 0,00021\\ \mathrm{kg}.
  • Converter comprimentos:
L_{\text{total}} = 21,3\\ \mathrm{cm} = 0,213\\ \mathrm{m}, \qquad L_{\text{parte}} = 8,7\\ \mathrm{cm} = 0,087\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a densidade linear de massa \mu da tira (massa por unidade de comprimento). Como a tira é uniforme,
\mu = \frac{m}{L_{\text{total}}}.
Explicação didática: \mu diz quanta massa existe em cada metro da tira. Quanto maior \mu, mais “pesada” por metro a tira é, e isso tende a diminuir a velocidade das ondas na tira.
Agora o cálculo numérico:
\mu = \frac{0,00021\\ \mathrm{kg}}{0,213\\ \mathrm{m}} \approx 0,0009859\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

A velocidade de propagação de pequenas ondas transversais numa tira esticada é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (força de tração) e \mu é a densidade linear de massa. Intuição: maior tensão puxa a tira com mais força e as ondas se propagam mais rápido; maior massa por comprimento torna a tira mais lenta.
Calculemos v:
v=\sqrt{\frac{2,8\\ \mathrm{N}}{0,0009859\\ \mathrm{kg/m}}} \approx \sqrt{2840,9\\ \mathrm{m^2/s^2}} \approx 53,3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para uma porção de tira com as extremidades fixas (como uma corda presa nas pontas), a frequência fundamental (mais baixa) é
f_1=\frac{v}{2L},
onde L é o comprimento da porção vibrante. Explicação didática: no modo fundamental há exatamente meia-onda ao longo do comprimento L; portanto o comprimento de onda é \lambda=2L e f=v/\lambda=v/(2L).
Aqui L=L_{\text{parte}}=0,087\\ \mathrm{m}. Substituindo:
f_1=\frac{53,3\\ \mathrm{m/s}}{2\cdot 0,087\\ \mathrm{m}} = \frac{53,3}{0,174}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Realizando a divisão final:
f_1 \approx 306\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: a porção de 8,7\\ \mathrm{cm} vibra com frequência fundamental aproximadamente 306\\ \mathrm{Hz}. Dica de prova: faça sempre as conversões primeiro, calcule \mu, depois v e por fim f_1; dessa forma os erros diminuem.

Resposta

306\\ \mathrm{Hz}

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