Uma tira de borracha com massa de
é esticada entre dois dedos, posta sob uma tensão de
. O comprimento total esticado da tira é de
. Um dos seus lados é beliscado, estabelecendo uma vibração em
do comprimento da tira esticada. Qual é a frequência de vibração mais baixa dessa parte da tira de borracha? Considere que a tira seja esticada uniformemente.
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: massa da tira
. - Dado: tensão na tira
. - Dado: comprimento total esticado da tira
. - Dado: a porção da tira que vibra tem comprimento
. - Pedido: determinar a frequência de vibração mais baixa (fundamental) dessa parte da tira.
Observação: vou assumir que a parte de comprimento
vibra com suas extremidades fixas (modelo de corda/tira presa nas pontas), de modo que a frequência fundamental é a do primeiro modo dessa porção.
Passo 2
Primeiro convertemos todas as quantidades para unidades do Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas de ondas usam metros, quilogramas e segundos.
- Converter massa:
- Converter comprimentos:
Passo 3
Calcular a densidade linear de massa
da tira (massa por unidade de comprimento). Como a tira é uniforme,
Explicação didática:
diz quanta massa existe em cada metro da tira. Quanto maior
, mais “pesada” por metro a tira é, e isso tende a diminuir a velocidade das ondas na tira.
Agora o cálculo numérico:
Passo 4
A velocidade de propagação de pequenas ondas transversais numa tira esticada é dada por
onde
é a tensão (força de tração) e
é a densidade linear de massa. Intuição: maior tensão puxa a tira com mais força e as ondas se propagam mais rápido; maior massa por comprimento torna a tira mais lenta.
Calculemos
:
Passo 5
Para uma porção de tira com as extremidades fixas (como uma corda presa nas pontas), a frequência fundamental (mais baixa) é
onde
é o comprimento da porção vibrante. Explicação didática: no modo fundamental há exatamente meia-onda ao longo do comprimento
; portanto o comprimento de onda é
e
.
Aqui
. Substituindo:
Passo 6
Realizando a divisão final:
Interpretação: a porção de
vibra com frequência fundamental aproximadamente
. Dica de prova: faça sempre as conversões primeiro, calcule
, depois
e por fim
; dessa forma os erros diminuem.