Para todo \mathrm{u}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{n}\right), existe o oposto ou simétrico dado por -u , tal que \mathrm{u}+(-\mathrm{u})=-\mathrm{u}+ \mathrm{u}=\mathbf{0}, logo -\mathrm{u}=\left(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{x}_{2}, \ldots,-\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor \mathrm{u}=(\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{n}) e afirma que existe um vetor chamado oposto ou simétrico, denotado por -\mathrm{u}, tal que
\mathrm{u}+(-\mathrm{u}) = (-\mathrm{u})+\mathrm{u} = \mathbf{0}.
O enunciado conclui que
-\mathrm{u} = \bigl(-\mathrm{x}_{1}, -\mathrm{x}_{2}, \ldots, -\mathrm{x}_{n}\bigr).
O que se pede implicitamente aqui é: justificar por que esse vetor com as coordenadas negativas é realmente o oposto de \mathrm{u} (ou seja, provar a existência e a forma do oposto) e também comentar sobre sua unicidade, se for o caso. As informações relevantes que já temos são:
  • a definição usual de soma de vetores em \mathbb{R}^n (soma coordenada a coordenada);
  • o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,\ldots,0);
  • o símbolo - antes de um número significa o oposto aditivo desse número (por exemplo, o oposto de \mathrm{x}_i é -\mathrm{x}_i).

Passo 2

Relembrar a definição de soma de vetores em \mathbb{R}^n. Para dois vetores \mathrm{u}=(\mathrm{x}_{1},\ldots,\mathrm{x}_{n}) e \mathrm{v}=(\mathrm{y}_{1},\ldots,\mathrm{y}_{n}) define-se
\mathrm{u}+\mathrm{v} = (\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1},\,\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2},\,\ldots,\,\mathrm{x}_{n}+\mathrm{y}_{n}).
Aqui cada soma \mathrm{x}_{i}+\mathrm{y}_{i} é a soma usual de números reais. É importante entender isso porque a propriedade pedida será verificada coordenada a coordenada.

Passo 3

Construir um candidato óbvio para -\mathrm{u}. Uma maneira natural de tentar o oposto é tomar o vetor formado pelos opostos das coordenadas de \mathrm{u}, isto é
\mathrm{w} \coloneqq \bigl(-\mathrm{x}_{1}, -\mathrm{x}_{2}, \ldots, -\mathrm{x}_{n}\bigr).
Mostraremos que \mathrm{w} satisfaz \mathrm{u}+\mathrm{w}=\mathbf{0}. Se isso for verdade, então \mathrm{w} é um oposto de \mathrm{u}.

Passo 4

Calcular a soma \mathrm{u}+\mathrm{w} usando a definição coordenada a coordenada:
\mathrm{u}+\mathrm{w} = (\mathrm{x}_{1},\ldots,\mathrm{x}_{n}) + \bigl(-\mathrm{x}_{1},\ldots,-\mathrm{x}_{n}\bigr) = (\mathrm{x}_{1}+(-\mathrm{x}_{1}),\,\ldots,\,\mathrm{x}_{n}+(-\mathrm{x}_{n})).
Para cada coordenada, \mathrm{x}_{i}+(-\mathrm{x}_{i}) = 0 porque em \mathbb{R} o oposto aditivo de \mathrm{x}_{i} somado a \mathrm{x}_{i} dá zero. Portanto cada componente da soma é 0.

Passo 5

Concluir que a soma é o vetor nulo. Juntando as componentes nulas obtemos
\mathrm{u}+\mathrm{w} = (0,0,\ldots,0) = \mathbf{0}.
Assim \mathrm{w} satisfaz a propriedade exigida de ser um oposto de \mathrm{u}. Pelo mesmo cálculo (já que a soma é comutativa), tem-se também (-\mathrm{u})+\mathrm{u}=\mathbf{0}.

Passo 6

Explicar por que o oposto é exatamente \bigl(-\mathrm{x}_{1},\ldots,-\mathrm{x}_{n}\bigr) e não outro vetor qualquer: mostramos que esse vetor funciona. Agora vale a pena mostrar unicidade: se existir outro vetor \mathrm{v}=(\mathrm{v}_{1},\ldots,\mathrm{v}_{n}) tal que \mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathbf{0}, então \mathrm{v}=\mathrm{w}. Vamos provar isso de forma direta.

Passo 7

Provar a unicidade do oposto. Suponha que \mathrm{v} satisfaça \mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathbf{0}. Então, usando a associatividade e a existência do oposto candidato \mathrm{w} do Passo 3, temos
\mathrm{v} = \mathrm{v} + \mathbf{0} = \mathrm{v} + (\mathrm{u} + \mathrm{w}) = (\mathrm{v} + \mathrm{u}) + \mathrm{w}.
Como a soma é comutativa, \mathrm{v}+\mathrm{u}=\mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathbf{0} por hipótese, logo
\mathrm{v} = \mathbf{0} + \mathrm{w} = \mathrm{w}.
Portanto qualquer vetor \mathrm{v} que some com \mathrm{u} dando \mathbf{0} tem de ser igual ao vetor \mathrm{w}. Isso prova a unicidade do oposto.

Passo 8

Dar um exemplo concreto para fixar a ideia (caso n=2). Seja \mathrm{u}=(3,-5). O candidato é -\mathrm{u}=(-3,5). Soma-se coordenada a coordenada:
(3,-5)+(-3,5)=(3+(-3),\, -5+5)=(0,0)=\mathbf{0}.
Funcionou — é exatamente o que a prova geral mostra para qualquer n.

Passo 9

Resumo do raciocínio didático: a definição de soma em \mathbb{R}^n reduz o problema às somas em \mathbb{R} coordenada a coordenada; como em \mathbb{R} cada número tem um oposto cujo somatório é 0, tomar os opostos coordenada a coordenada produz um vetor que somado a \mathrm{u} dá o vetor nulo. A propriedade de unicidade decorre da estrutura algébrica da soma (associatividade e elemento neutro), e foi provada diretamente.

Resposta

-\mathrm{u}=\bigl(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{x}_{2},\ldots,-\mathrm{x}_{n}\bigr)

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