Para todo
, existe o oposto ou simétrico dado por -u , tal que
, logo
.
Passo 1
O enunciado nos dá um vetor
e afirma que existe um vetor chamado oposto ou simétrico, denotado por
, tal que
O enunciado conclui que
O que se pede implicitamente aqui é: justificar por que esse vetor com as coordenadas negativas é realmente o oposto de
(ou seja, provar a existência e a forma do oposto) e também comentar sobre sua unicidade, se for o caso. As informações relevantes que já temos são:
- a definição usual de soma de vetores em
(soma coordenada a coordenada); - o vetor nulo
; - o símbolo
antes de um número significa o oposto aditivo desse número (por exemplo, o oposto de é ).
Passo 2
Relembrar a definição de soma de vetores em
. Para dois vetores
e
define-se
Aqui cada soma
é a soma usual de números reais. É importante entender isso porque a propriedade pedida será verificada coordenada a coordenada.
Passo 3
Construir um candidato óbvio para
. Uma maneira natural de tentar o oposto é tomar o vetor formado pelos opostos das coordenadas de
, isto é
Mostraremos que
satisfaz
. Se isso for verdade, então
é um oposto de
.
Passo 4
Calcular a soma
usando a definição coordenada a coordenada:
Para cada coordenada,
porque em
o oposto aditivo de
somado a
dá zero. Portanto cada componente da soma é
.
Passo 5
Concluir que a soma é o vetor nulo. Juntando as componentes nulas obtemos
Assim
satisfaz a propriedade exigida de ser um oposto de
. Pelo mesmo cálculo (já que a soma é comutativa), tem-se também
.
Passo 6
Explicar por que o oposto é exatamente
e não outro vetor qualquer: mostramos que esse vetor funciona. Agora vale a pena mostrar unicidade: se existir outro vetor
tal que
, então
. Vamos provar isso de forma direta.
Passo 7
Provar a unicidade do oposto. Suponha que
satisfaça
. Então, usando a associatividade e a existência do oposto candidato
do Passo 3, temos
Como a soma é comutativa,
por hipótese, logo
Portanto qualquer vetor
que some com
dando
tem de ser igual ao vetor
. Isso prova a unicidade do oposto.
Passo 8
Dar um exemplo concreto para fixar a ideia (caso
). Seja
. O candidato é
. Soma-se coordenada a coordenada:
Funcionou — é exatamente o que a prova geral mostra para qualquer
.
Passo 9
Resumo do raciocínio didático: a definição de soma em
reduz o problema às somas em
coordenada a coordenada; como em
cada número tem um oposto cujo somatório é
, tomar os opostos coordenada a coordenada produz um vetor que somado a
dá o vetor nulo. A propriedade de unicidade decorre da estrutura algébrica da soma (associatividade e elemento neutro), e foi provada diretamente.