Um torneio de futebol será disputado por 16 equipes que, ao final, serão classificadas do 1^{\circ} ao 16^{\circ} lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate. Considerando para os cálculos \log 15!=12 e \log 2=0,3, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de
a) bilhões.
b) quatrilhões.
c) quintilhões.
d) milhões.

Passo 1

O enunciado pede a ordem de grandeza do número de classificações possíveis de 16 equipes, sabendo que não há empates (ou seja, todas as colocações são distintas). As informações relevantes dadas são:
  • Número de equipes: 16.
  • Não há empates → cada classificação final é uma permutação das 16 equipes.
  • Valores fornecidos para cálculo: \log 15! = 12 e \log 2 = 0,3.
    A tarefa é avaliar a ordem de grandeza (em termos de milhões, bilhões, quatrilhões, quintilhões, etc.) do total de classificações possíveis.

Passo 2

Identificar a quantidade exata a estimar. Como cada classificação é uma permutação das 16 equipes, o total de classificações possíveis é
16!.
Queremos a ordem de grandeza de 16!. Para isso é útil calcular \log 16! (logaritmo decimal), usando a informação dada sobre \log 15!.

Passo 3

Usar a propriedade dos logaritmos para relacionar \log 16! e \log 15!. Temos
16! = 16\cdot 15! \quad\Rightarrow\quad \log 16! = \log 16 + \log 15!.
Além disso, 16 = 2^4, então
\log 16 = \log(2^4) = 4\log 2.

Passo 4

Substituir os valores numéricos fornecidos. Usando \log 15! = 12 e \log 2 = 0,3,
\log 16! = 4\cdot 0,3 + 12 = 1,2 + 12 = 13,2.

Passo 5

Interpretar o resultado em termos de potência de 10. Se \log 16! = 13,2, então
16! \approx 10^{13,2} = 10^{0,2}\cdot 10^{13}\approx 1{,}6\times 10^{13}.
Explicando os nomes das ordens de grandeza (valores típicos):
10^{6} \text{ — milhões},\quad 10^{9} \text{ — bilhões},\quad 10^{12} \text{ — trilhões},\quad 10^{15} \text{ — quatrilhões},\quad 10^{18} \text{ — quintilhões}.õõõõõ
Portanto 16!\approx 1{,}6\times 10^{13} está entre 10^{12} e 10^{15}, isto é, entre trilhões e quatrilhões. Das opções dadas (milhões, bilhões, quatrilhões, quintilhões), a classe mais adequada (a mais próxima em ordem de grandeza) é a dos quatrilhões ( 10^{15}), já que 10^{13} está muito mais perto de 10^{15} do que de 10^{9}.

Resposta

b) quatrilhões.

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