Um toro é obtido rotacionando ao redor do eixo y o círculo
Mostre que a área do toro é
Passo 1
O enunciado dá o círculo
e pede a área da superfície obtida ao rotacionar esse círculo em torno do eixo
. Ou seja, ao girar o círculo em torno do eixo
obtém-se um toro (anel). Informações importantes extraídas do enunciado:
- O centro do círculo é
. - O raio do círculo é
. - A distância do centro do círculo ao eixo de rotação (
) é .
O objetivo é calcular a área da superfície do toro gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método e ideia física da fórmula. Vou usar a fórmula clássica para área de superfície gerada por revolução em torno do eixo
: se uma curva plana é dada por
para
em um intervalo e é girada em torno do eixo
, a área da superfície gerada é
onde
é o elemento de comprimento de arco da curva, ou seja
. Intuição simples: um pedaço de arco de comprimento
ao girar descreve uma faixa lateral aproximada de área
.
Observação prática: para que essa fórmula represente um toro “clássico” sem auto-interseção é conveniente que a curva esteja inteira do lado positivo de
, isto é, que
. No nosso caso isso exige normalmente
(o círculo inteiro fica à direita do eixo
). A dedução do resultado não muda formalmente, mas é bom estar ciente dessa condição geométrica.
Passo 3
Parametrização do círculo. Uma parametrização padrão do círculo de centro
e raio
é
Aqui
é o ângulo polar medido no próprio círculo: quando
percorre
o ponto percorre uma volta completa no círculo.
Passo 4
Calcular o elemento de arco
. Derivando a parametrização:
Logo a velocidade (módulo do vetor derivada) é
Portanto
É uma consequência bonita do círculo: o comprimento por unidade do parâmetro
é constante e igual a
.
Passo 5
Agora substituímos na fórmula da área. Pela fórmula de revolução em torno do eixo
,
Colocando
fora:
Calcule as integrais separadamente. A primeira é
A segunda é
Portanto
Passo 6
Interpretação e atalho (Pappus). O resultado pode ser visto também por um atalho geométrico: o comprimento do círculo gerador é
. Ao girar esse círculo em torno do eixo
, o seu centro descreve uma circunferência de raio
e comprimento
. Pelo teorema de Pappus para áreas de superfície, a área do toro é produto do comprimento do gerador pelo comprimento percorrido pelo seu centro, ou seja
o que coincide com o cálculo direto.