Um toro é obtido rotacionando ao redor do eixo y o círculo
(x-b)^{2}+y^{2}=a^{2}
Mostre que a área do toro é 4 \pi a b

Passo 1

O enunciado dá o círculo
(x-b)^{2}+y^{2}=a^{2}
e pede a área da superfície obtida ao rotacionar esse círculo em torno do eixo y. Ou seja, ao girar o círculo em torno do eixo y obtém-se um toro (anel). Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O centro do círculo é (b,0).
  • O raio do círculo é a.
  • A distância do centro do círculo ao eixo de rotação ( y) é b.
    O objetivo é calcular a área da superfície do toro gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método e ideia física da fórmula. Vou usar a fórmula clássica para área de superfície gerada por revolução em torno do eixo y: se uma curva plana é dada por (x(t),y(t)) para t em um intervalo e é girada em torno do eixo y, a área da superfície gerada é
A = 2\pi \int x(t)\, \mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento de arco da curva, ou seja \mathrm{d}s=\sqrt{\bigl(\tfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\bigr)^{2}}\,\mathrm{d}t. Intuição simples: um pedaço de arco de comprimento \mathrm{d}s ao girar descreve uma faixa lateral aproximada de área 2\pi\cdot(\text{distância ao eixo})\cdot\mathrm{d}s=2\pi x\,\mathrm{d}sâ.
Observação prática: para que essa fórmula represente um toro “clássico” sem auto-interseção é conveniente que a curva esteja inteira do lado positivo de x, isto é, que x(t)>0. No nosso caso isso exige normalmente b>a (o círculo inteiro fica à direita do eixo y). A dedução do resultado não muda formalmente, mas é bom estar ciente dessa condição geométrica.

Passo 3

Parametrização do círculo. Uma parametrização padrão do círculo de centro (b,0) e raio a é
x(t)=b+a\cos t,\qquad y(t)=a\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Aqui t é o ângulo polar medido no próprio círculo: quando t percorre [0,2\pi] o ponto percorre uma volta completa no círculo.

Passo 4

Calcular o elemento de arco \mathrm{d}s. Derivando a parametrização:
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-a\sin t,\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a\cos t.
Logo a velocidade (módulo do vetor derivada) é
\sqrt{\bigl(\tfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\bigr)^{2}} =\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t} =\sqrt{a^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} =\sqrt{a^{2}}=a.
Portanto
\mathrm{d}s=a\,\mathrm{d}t.
É uma consequência bonita do círculo: o comprimento por unidade do parâmetro t é constante e igual a a.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula da área. Pela fórmula de revolução em torno do eixo y,
A=2\pi\int_{0}^{2\pi} x(t)\,\mathrm{d}s =2\pi\int_{0}^{2\pi} \bigl(b+a\cos t\bigr)\cdot a\,\mathrm{d}t.
Colocando a fora:
A=2\pi a\int_{0}^{2\pi}\bigl(b+a\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t =2\pi a\left(\int_{0}^{2\pi} b\,\mathrm{d}t + \int_{0}^{2\pi} a\cos t\,\mathrm{d}t\right).
Calcule as integrais separadamente. A primeira é
\int_{0}^{2\pi} b\,\mathrm{d}t = b\cdot(2\pi).
A segunda é
\int_{0}^{2\pi} a\cos t\,\mathrm{d}t = a\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} = a(0-0)=0.
Portanto
A=2\pi a\cdot(2\pi b)=4\pi^{2}ab.

Passo 6

Interpretação e atalho (Pappus). O resultado pode ser visto também por um atalho geométrico: o comprimento do círculo gerador é 2\pi a. Ao girar esse círculo em torno do eixo y, o seu centro descreve uma circunferência de raio b e comprimento 2\pi b. Pelo teorema de Pappus para áreas de superfície, a área do toro é produto do comprimento do gerador pelo comprimento percorrido pelo seu centro, ou seja
A=(2\pi a)\cdot(2\pi b)=4\pi^{2}ab,
o que coincide com o cálculo direto.

Resposta

A=4\pi^{2}ab

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