O trabalho realizado por uma partícula P no espaço que se desloca numa direção constante \vec{d}, sob ação de uma força \vec{F} constante, é definido por W=\vec{F} \bullet \vec{d}. Determinar o trabalho realizado por uma partícula P que se desloca:
do ponto A=(1,0,1) ao ponto B=(2,1,-1) sob ação de uma força \vec{F}=(-1,2,-1).
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa específica.
Dados:
Ponto A=(1,0,1).
Ponto B=(2,1,-1).
Força constante \vec{F}=(-1,2,-1).
O que é pedido:
Determinar o trabalho W realizado pela força \vec{F} quando a partícula se desloca de A para B, usando a definição W=\vec{F}\bullet\vec{d}, onde \vec{d} é o deslocamento.
Passo 2
Calcular o vetor deslocamento \vec{d}=\overrightarrow{AB}. O deslocamento de A para B é dado componente a componente por subtrair as coordenadas de A das de B:
Explicação rápida: cada componente diz quanto a partícula avançou em cada direção x,y,z.
Passo 3
Lembrar a definição do produto escalar (dot product) em coordenadas cartesianas e o que cada símbolo significa.
Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui:
u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} nas direções x,y,z;
v_1,v_2,v_3 são as componentes de \vec{v};
o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Observação útil (geométrica): também vale \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Isso ajuda a interpretar o sinal do trabalho: se \cos\theta>0 o trabalho é positivo (força tem componente na direção do deslocamento).
Passo 4
Aplicar a fórmula do produto escalar para calcular W=\vec{F}\cdot\vec{d}. Já temos
Interpretação didática e motivação para a prova: o resultado W=3 significa que a componente da força na direção do deslocamento fez um trabalho positivo total de 3 (unidades implícitas, por exemplo joules se as unidades forem do SI). No cálculo usou-se apenas subtração de coordenadas e multiplicação/soma simples — operações que dão direto no produto escalar em coordenadas.