O trabalho realizado por uma partícula P no espaço que se desloca numa direção constante \vec{d}, sob ação de uma força \vec{F} constante, é definido por W=\vec{F} \bullet \vec{d}. Determinar o trabalho realizado por uma partícula P que se desloca:
do ponto A=(1,0,1) ao ponto B=(2,1,-1) sob ação de uma força \vec{F}=(-1,2,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa específica.
Dados:
  • Ponto A=(1,0,1).
  • Ponto B=(2,1,-1).
  • Força constante \vec{F}=(-1,2,-1).
O que é pedido:
  • Determinar o trabalho W realizado pela força \vec{F} quando a partícula se desloca de A para B, usando a definição W=\vec{F}\bullet\vec{d}, onde \vec{d} é o deslocamento.

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento \vec{d}=\overrightarrow{AB}. O deslocamento de A para B é dado componente a componente por subtrair as coordenadas de A das de B:
\vec{d}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-0,\;-1-1).
Fazendo as contas componente a componente:
\vec{d}=(1,\;1,\;-2).
Explicação rápida: cada componente diz quanto a partícula avançou em cada direção x,y,z.

Passo 3

Lembrar a definição do produto escalar (dot product) em coordenadas cartesianas e o que cada símbolo significa.
Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui:
  • u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} nas direções x,y,z;
  • v_1,v_2,v_3 são as componentes de \vec{v};
  • o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Observação útil (geométrica): também vale \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Isso ajuda a interpretar o sinal do trabalho: se \cos\theta>0 o trabalho é positivo (força tem componente na direção do deslocamento).

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar para calcular W=\vec{F}\cdot\vec{d}. Já temos
\vec{F}=(-1,2,-1),\qquad \vec{d}=(1,1,-2).
Calcular termo a termo:
(-1)\cdot 1 = -1, \qquad 2\cdot 1 = 2, \qquad (-1)\cdot(-2) = 2.
Somando esses produtos:
W = -1 + 2 + 2 = 3.

Passo 5

Interpretação didática e motivação para a prova: o resultado W=3 significa que a componente da força na direção do deslocamento fez um trabalho positivo total de 3 (unidades implícitas, por exemplo joules se as unidades forem do SI). No cálculo usou-se apenas subtração de coordenadas e multiplicação/soma simples — operações que dão direto no produto escalar em coordenadas.

Resposta

W=3

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