- Transforme a equação
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a equação
em um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função incógnita é
. - Aparecem a derivada primeira
e a segunda derivada . - A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não linear (por causa de
e do termo ). - Não foram dadas condições iniciais; só precisamos escrever o sistema de primeira ordem equivalente.
Passo 2
Por que reduzir para um sistema de primeira ordem? A ideia padrão para transformar uma ODE de ordem
em um sistema de ordem 1 é introduzir novas variáveis que representem as derivadas sucessivas da incógnita. Isso cria um sistema de
equações da primeira ordem cuja solução em componentes reconstrói a solução original. Aqui temos uma segunda ordem, então vamos introduzir duas variáveis: uma para
e outra para
. Esta é a forma mais direta e prática — outras técnicas (como tentar achar integrais primeiras fechadas) não são apropriadas agora porque a equação é não linear e o enunciado só pede a redução de ordem.
Passo 3
Definimos as novas variáveis (esta é a substituição padrão):
Agora escrevemos as derivadas de
e
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é exatamente
, que é
:
A derivada de
é
. Para obter
usamos a equação diferencial original para isolar
.
Passo 4
Da equação dada temos:
Substituindo
e
por
e
, obtemos:
Passo 5
Juntando as duas equações de primeira ordem temos o sistema equivalente (mostro em forma explícita):
Observação sobre equivalência: se
resolve a equação original, então
e
resolvem este sistema; recíprocamente, se
resolve o sistema e
é duas vezes diferenciável, então
resolve a equação original. Se houver condições iniciais
,
, elas se traduzem diretamente em
,
.]