Transforme as frações abaixo em números decimais:
Passo 1
O enunciado pede: transformar a fração
em número decimal.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Objetivo: escrevercomo decimal (pode ser decimal finito ou periódico).
Passo 2
Método que vamos usar (explicado de forma didática): divisão longa (divisão do numerador pelo denominador).
Ideia principal: ao dividir um inteiro por outro, se a divisão terminar com resto zero, o decimal é finito; se o resto não zera, ao repetir um resto já visto a partir de então os dígitos decimais passam a repetir (decimal periódico). Vou aplicar a divisão passo a passo, anotando quocientes e restos.
Ideia principal: ao dividir um inteiro por outro, se a divisão terminar com resto zero, o decimal é finito; se o resto não zera, ao repetir um resto já visto a partir de então os dígitos decimais passam a repetir (decimal periódico). Vou aplicar a divisão passo a passo, anotando quocientes e restos.
Passo 3
Começando a divisão de
por
:
-
não cabe em , então a parte inteira é . Escrevemos e consideramos a parte decimal trazendo zeros: - Resto inicial:
.
- Resto inicial:
- Colocamos uma vírgula e adicionamos um zero ao resto: agora dividimos
por . -
cabe vezes em , porque . - Escrevemos o primeiro dígito decimal:
. - Novo resto:
. - Até aqui temos
.
-
- Trazemos outro zero ao resto
, ficando . Dividimos por : -
cabe vezes em , porque . - Escrevemos o próximo dígito decimal:
. - Novo resto:
. - Agora temos
.
-
- Observação importante: o novo resto voltou a ser
, igual ao resto anterior antes de trazermos o último zero. Isso significa que o processo entra em ciclo: sempre que tivermos resto e trouxermos um zero vamos obter novamente o dígito . Portanto os dígitos vão se repetir indefinidamente.
Passo 4
Conclusão do padrão encontrado: a expansão decimal de
é
ou, usando a notação de período (barra sobre os dígitos que se repetem), escrevemos
Significado: o
aparece uma vez depois da vírgula e o
se repete para sempre.
Passo 5
Verificação algébrica simples (pra confirmar que está certo e para aprender um truque útil na prova):
- Seja
o número decimal que encontramos: . - Multiplicando por
: . - Subtraindo:
dá . - Escrevendo
como fração: . - Logo
.
Isso confirma que.