Transforme as frações abaixo em números decimais:
\frac{13}{99}

Passo 1

O enunciado pede para transformar a fração \dfrac{13}{99} em número decimal.
Informações dadas:
  • Numerador: \;13\;.
  • Denominador: \;99\;.
    Pergunta: escrever \dfrac{13}{99} como decimal (ou seja, encontrar seus dígitos decimais e identificar se há repetição).

Passo 2

Ideia geral (como proceder na prova): fazer a divisão de 13 por 99.
Regras básicas que vou usar e explicar:
  • Se o denominador é maior que o numerador, a parte inteira do quociente é \,0, e começamos a construir a parte decimal.
  • Na divisão decimal, a cada passo pegamos o resto, multiplicamos por 10 e dividimos de novo: isso gera os dígitos decimais sucessivos.
  • Importante: só existem finitamente muitos restos possíveis (entre 0 e 98 no caso de divisor 99). Se algum resto se repetir, a sequência de dígitos decimais entre as duas ocorrências desse resto vai se repetir indefinidamente — por isso aparecem dígitos repetidos (periódicos).

Passo 3

Vamos fazer a divisão passo a passo (long division), mostrando restos e dígitos:
  • Como 99>13, a parte inteira é 0. Coloca-se a vírgula: \;0,\;. O resto inicial é 13.
  • Primeiro dígito decimal: multiplica-se o resto por 10: 13\times10=130. Divide-se 130 por 99: 130 = 99\cdot1 + 31,então o primeiro dígito decimal é 1 e o novo resto é 31.
  • Segundo dígito decimal: multiplica-se o resto 31 por 10: 31\times10=310. Divide-se 310 por 99: 310 = 99\cdot3 + 13,então o segundo dígito decimal é 3 e o novo resto é 13.
  • Observação crucial: o novo resto é 13, que já apareceu no começo (resto inicial). Isso significa que a sequência de operações entre duas ocorrências do mesmo resto vai se repetir indefinidamente. Os dígitos obtidos entre as ocorrências de 13 foram 1 e 3. Portanto os dígitos decimais repetem o bloco 13 sem fim.

Passo 4

Interpretação do ciclo e conclusão do raciocínio: a divisão mostrou que os dígitos decimais formam a sequência 1,3,1,3,1,3,\dots, isto é, o bloco de dois dígitos \,13 repete-se continuamente. Em notação de periódicos, escreve-se o repetendo com uma barra sobre o bloco repetido.
Também vale um truque rápido (útil na prova): para denominadores da forma 99=10^{2}-1, qualquer fração \dfrac{n}{99} (com 0\le n\le 98) corresponde a um decimal periódico com período de 2 dígitos. O bloco repetido é simplesmente o numerador n escrito com dois dígitos (com zero à esquerda se necessário). Exemplos: \dfrac{1}{99}=0,\overline{01}, \dfrac{5}{99}=0,\overline{05}, \dfrac{13}{99}=0,\overline{13}. Esse truque vem de que
\dfrac{n}{99}=n\cdot\dfrac{1}{99}=n\cdot(0,\overline{01})=0,\overline{\,\text{(n em 2 dígitos)}\,}.í

Passo 5

Resumo final do raciocínio e dica prática para a prova: ao dividir \dfrac{13}{99} obteve-se resto 13 duas vezes, portanto o decimal é periódico com período 2 formado por 13. Se estiver sem tempo, aplique o truque do denominador 99 para obter o resultado direto.

Resposta

\;0,\overline{13}\;

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