Transforme os números decimais abaixo em frações: 3.19272727 \ldots
Passo 1
O enunciado pede: transformar o número decimal 3.19272727\ldots em fração.
Informações dadas:
O número é 3,1\!9\!2\!7\!2\!7\ldots (ou seja, após a vírgula aparecem os dígitos 1,9,2,7,2,7,\ldots).
Observação importante sobre a repetição: os dígitos que se repetem formam o bloco 27, que começa depois dos dois primeiros algarismos decimais 19. Portanto a parte não periódica (antes da repetição) é 19 (dois dígitos) e a parte periódica é 27 (dois dígitos).
Passo 2
Vou usar o método algébrico padrão para decimais periódicos mistos (parte não periódica seguida de período). A ideia é:
Definir x igual ao número decimal.
Multiplicar x por 10^{r+k} para deslocar a vírgula de modo que a repetição volte a aparecer depois da vírgula.
Também multiplicar x por 10^{r} para deslocar a vírgula de modo que a repetição apareça na mesma posição relativa. Subtraindo essas duas equações, a parte periódica se cancela, sobrando uma equação com inteiros que dá uma fração exata.
Aqui:
o comprimento da parte não periódica é r=2 (os dígitos 1 e 9);
o comprimento do período é k=2 (os dígitos 2 e 7).
Passo 3
Defino x:
x = 3.19272727\ldots
Multiplico por 10^{r+k}=10^{4}=10000:
10000x = 31927.272727\ldots
Multiplico por 10^{r}=10^{2}=100:
100x = 319.272727\ldots
Agora subtraio a segunda equação da primeira para eliminar a parte periódica \overline{27}:
Agora simplifico essa fração. Uso o algoritmo de Euclides ou fatoração para achar o máximo divisor comum (MDC). Vou fazer uma redução passo a passo:
Dividindo numerador e denominador por 4: \dfrac{31608}{9900}=\dfrac{7902}{2475}.
Dividindo por 3: \dfrac{7902}{2475}=\dfrac{2634}{825}.
Dividindo por 3 novamente: \dfrac{2634}{825}=\dfrac{878}{275}.
Alternativamente usando o MDC direto nota-se que \gcd(31608,9900)=36 e \dfrac{31608}{36}=\!878, \dfrac{9900}{36}=\!275. Portanto a forma irredutível é
x = \frac{878}{275}.
Passo 5
(Facultativo — checagem rápida) Verifico que \dfrac{878}{275} corresponde a 3,19272727\ldots. Escrevo como número misto:
\frac{878}{275}=3+\frac{53}{275},
pois 3\cdot 275=825 e 878-825=53. Fazendo a divisão longa de \dfrac{53}{275} obtém-se 0,19272727\ldots, confirmando a repetição 27. Então a conversão está correta.