Transforme os números decimais abaixo em frações:
1.222 \ldots

Passo 1

O enunciado pede: transformar o número decimal 1,222\ldots em uma fração.
Informações dadas:
  • O número é 1,222\ldots, isto é, a parte inteira é 1 e a parte decimal é uma repetição infinita do dígito 2 (escrevemos 1,\overline{2}).

Passo 2

Vamos definir uma variável para representar o número e usar um truque algébrico simples que alinha as partes repetidas para eliminar a repetição. Defina
x = 1,\overline{2}.
Aqui x é o número que queremos transformar em fração.

Passo 3

Perceba que o bloco repetido tem comprimento 1 (apenas o dígito 2). Para alinhar as repetições, multiplicamos x por 10 (que desloca a vírgula uma casa):
10x = 12,\overline{2}.
Agora subtraímos a equação original da multiplicada para eliminar a parte decimal repetida:
10x - x = 12,\overline{2} - 1,\overline{2}.
Do lado esquerdo fica 9x. Do lado direito, as partes decimais idênticas se cancelam, sobrando
9x = 12 - 1 = 11.
Logo,
x = \frac{11}{9}.

Passo 4

Vamos confirmar por um segundo método (aula rápida sobre séries), que também serve para entender por que deu 11/9. Separe a parte inteira e a parte decimal:
1,\overline{2} = 1 + 0,\overline{2}.
A parte 0,\overline{2} pode ser vista como série geométrica:
0,\overline{2} = 0,222\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 2\cdot 10^{-k}.
Aqui o primeiro termo é a = 2\cdot 10^{-1} = \dfrac{2}{10} e a razão é r=\dfrac{1}{10}. A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é a/(1-r). Então
0,\overline{2} = \frac{\tfrac{2}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = \frac{\tfrac{2}{10}}{\tfrac{9}{10}} = \frac{2}{9}.
Somando a parte inteira:
1,\overline{2} = 1 + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} + \frac{2}{9} = \frac{11}{9},
o mesmo resultado obtido antes.

Passo 5

Verificação de simplificação: \gcd(11,9)=1, portanto \dfrac{11}{9} já está na forma irredutível. Como fração imprópria pode também ser escrita como número misto:
\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (truque prático): se tiver um decimal periódico puro A,\overline{R}, com A parte inteira e R bloco repetido de n dígitos, então uma forma direta é:
A,\overline{R} = A + \frac{R}{10^{n}-1}.
No caso A=1, R=2, n=1, dá 1 + 2/(10-1)=1+2/9=11/9. Use isso para converter rápido na prova.

Resposta

\dfrac{11}{9}

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