Transforme os números decimais abaixo em frações:
0.363636 \ldots

Passo 1

O enunciado pede transformar o número decimal 0.363636\ldots em uma fração. Informações fornecidas:
  • O número decimal é 0.363636\ldots.
  • Observação importante: o bloco de dígitos que se repete é 36 (ou seja, trata-se de um decimal periódico com período de comprimento 2).

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para o número repetido. Defina
x = 0.363636\ldots
Explicação didática: escolher x assim nos permite manipular a repetição com operações aritméticas simples (multiplicação e subtração) para “eliminar” a parte periódica.

Passo 3

Como o período tem comprimento 2 (os dois dígitos 36 se repetem), multiplica-se x por 10^{2}=100 para deslocar a vírgula duas casas e alinhar as repetições:
100x = 36.363636\ldots
Aqui a parte decimal de 100x é exatamente a mesma de x, porque o bloco 36 continua se repetindo.

Passo 4

Subtraindo a equação original da equação obtida ao multiplicar, obtemos:
100x - x = 36.363636\ldots - 0.363636\ldots
No lado direito, as partes decimais idênticas cancelam, sobrando apenas a parte inteira:
99x = 36
Explicação didática: essa é a manobra padrão para transformar decimais periódicos em fração — multiplicar por 10^n onde n é o tamanho do período e subtrair para cancelar a parte repetida.

Passo 5

Agora isolamos x:
x = \frac{36}{99}

Passo 6

Precisamos simplificar a fração. Calcule o máximo divisor comum entre 36 e 99. Observando que ambos são divisíveis por 9 (pois 3+6=9 e 9+9=18, múltiplos de 9), temos \gcd(36,99)=9. Dividindo numerador e denominador por 9:
\frac{36}{99} = \frac{36\div9}{99\div9} = \frac{4}{11}

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: o procedimento padrão é sempre o mesmo — chamar o decimal de x, multiplicar por 10^n com n sendo o comprimento do período, subtrair para eliminar a parte periódica, resolver para x e simplificar a fração. Como checagem rápida: 0.\overline{36}= \dfrac{4}{11} porque \dfrac{4}{11}=0,363636\ldots.

Resposta

\dfrac{4}{11}

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