Transforme os números decimais abaixo em frações: 0.444 \ldots
Passo 1
O enunciado pede para transformar o número decimal 0.444\ldots em uma fração.
Informações dadas:
O número é 0.444\ldots, ou seja, o dígito 4 repete infinitamente (repetição periódica de período 1).
Passo 2
Vou usar uma técnica algébrica simples e sistemática: chamar o número de x para poder montar uma equação. Defino
x = 0.444\ldots
Explicação curta do porquê: representar o número por uma variável permite manipular algebraicamente a parte decimal que se repete.
Passo 3
Como o período da repetição é 1 dígito (só o 4), multiplico x por 10 para deslocar a vírgula de modo que a parte repetida fique alinhada com a original:
10x = 4.444\ldots
Observação: a parte decimal .444\ldots em 10x é exatamente a mesma que em x, isso é o que permite o próximo passo.
Passo 4
Subtraio a equação original da equação multiplicada para eliminar a parte decimal infinita:
10x - x = 4.444\ldots - 0.444\ldots
Como as partes decimais iguais se cancelam, sobra
9x = 4.
Agora isolamos x:
x = \frac{4}{9}.
Passo 5
Verificação rápida e observação sobre simplificação:
O máximo divisor comum entre 4 e 9 é 1, então a fração \dfrac{4}{9} já está na forma irredutível.
Para confirmar que faz sentido, pode-se usar a soma de uma série geométrica: 0.444\ldots = \dfrac{4}{10}+\dfrac{4}{10^2}+\dfrac{4}{10^3}+\cdots. Usando a fórmula da soma de série geométrica \displaystyle S=\frac{a}{1-r}, com a=\dfrac{4}{10} (primeiro termo) e r=\dfrac{1}{10} (razão), obtemos
Dica prática para a prova (resumindo a técnica): se o período tem k dígitos, multiplica-se por 10^k para alinhar os períodos e depois subtrai-se para eliminar a parte repetida; divide-se e simplifica a fração resultante. Exemplo curto: 0.\overline{12}: seja y=0.1212\ldots, então 100y=12.1212\ldots, subtraindo 99y=12, logo y=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}.