Um trem move-se com velocidade \mathbf{v}_{\mathrm{TG}}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j} em relação ao solo. Uma bala é disparada dentro do trem com velocidade \mathbf{v}_{\mathrm{BT}}=15 \mathbf{i}-6 \mathbf{j} em relação ao trem. Qual é a velocidade da bala \mathbf{v}_{\mathrm{BG}} em relação ao solo?

Passo 1

O enunciado dá as velocidades vetoriais (peguei estes valores do enunciado) e pede a velocidade da bala em relação ao solo. Informações e o que é pedido:
  • Velocidade do trem em relação ao solo: \mathbf{v}_{\mathrm{TG}} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}.
  • Velocidade da bala em relação ao trem: \mathbf{v}_{\mathrm{BT}} = 15\mathbf{i} - 6\mathbf{j}.
  • Pergunta: encontrar a velocidade da bala em relação ao solo \mathbf{v}_{\mathrm{BG}}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática). Pense assim: a posição da bala em relação ao solo é a posição do trem em relação ao solo mais a posição da bala dentro do trem. Em símbolos:
\mathbf{r}_{\mathrm{B/G}} = \mathbf{r}_{\mathrm{T/G}} + \mathbf{r}_{\mathrm{B/T}}.
Derivando em relação ao tempo (velocidades são derivadas de posições) obtemos a relação entre velocidades:
\mathbf{v}_{\mathrm{BG}} = \mathbf{v}_{\mathrm{BT}} + \mathbf{v}_{\mathrm{TG}}.
Interpretação simples: para saber a velocidade da bala vista do solo, some o que ela tem dentro do trem com o que o trem já leva (soma vetorial). Isso vale componente a componente (i e j separadamente).

Passo 3

Aplicando a fórmula com os vetores dados (substituir os valores):
\mathbf{v}_{\mathrm{BG}} = \mathbf{v}_{\mathrm{BT}} + \mathbf{v}_{\mathrm{TG}} = (15\mathbf{i}-6\mathbf{j}) + (3\mathbf{i}+4\mathbf{j}).

Passo 4

Somar as componentes correspondentes (faça isso na prova: some as componentes em i, depois em j):
  • Componente em \mathbf{i}: 15 + 3 = 18.
  • Componente em \mathbf{j}: -6 + 4 = -2.

Passo 5

Interpretação do resultado numérico: a componente em \mathbf{i} é positiva e grande ( 18), ou seja a bala avança fortemente na direção \mathbf{i}; a componente em \mathbf{j} é pequena e negativa ( -2), ou seja há um pequeno componente oposto na direção \mathbf{j}. Se quiser visualizar o módulo e o ângulo (não pedido, mas útil para interpretar):
\|\mathbf{v}_{\mathrm{BG}}\| = \sqrt{18^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{324+4}=\sqrt{328}=2\sqrt{82}\approx 18,11,
e o ângulo \theta em relação ao eixo \mathbf{i} satisfaz \tan\theta = \dfrac{-2}{18} = -\dfrac{1}{9}, ou seja \theta\approx -6{,}34^\circ (ligeiramente abaixo do eixo \mathbf{i}).

Resposta

\mathbf{v}_{\mathrm{BG}}=18\mathbf{i}-2\mathbf{j}

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