Em um trem movendo-se com velocidade constante, uma bola lançada para cima retorna diretamente à mão da pessoa. Se o trem tiver uma aceleração a, mostre que, para que isso aconteça, a bola deve ser lançada com um ângulo
em relação à vertical na direção para frente, onde
.
Passo 1
O enunciado diz que um trem acelera para frente com aceleração
. Uma pessoa, dentro do trem, lança uma bola para cima de modo que ela volte exatamente para a sua mão. Pede-se que se mostre que, para isso ocorrer, a bola deve ser lançada formando um ângulo
em relação à vertical, na direção para frente, tal que
Informações relevantes dadas:
- Aceleração do trem (para frente):
. - Aceleração da gravidade (para baixo):
. - A bola deve voltar à mesma posição relativa na mão da pessoa (ou seja, deslocamento relativo da bola no trem = 0 durante o voo).
- Ângulo
é medido em relação à vertical, na direção para frente do trem.
Passo 2
Escolha de referencial e convenções (muito importante para organizar as contas).
- Vou trabalhar no referencial solidário ao trem (referencial não-inercial). Isso é prático porque a mão da pessoa está fixa nesse referencial e queremos que a bola retorne à mesma posição relativa.
- Neste referencial aparece uma força fictícia (força inercial) equivalente a uma aceleração para trás de módulo
. Em termos de acelerações, a bola é submetida a: - aceleração vertical para baixo:
, - aceleração horizontal para trás:
(ou seja, componente horizontal da aceleração efetiva é ).
- aceleração vertical para baixo:
- Defino e explico as variáveis iniciais do lançamento, medidas no referencial do trem:
- velocidade inicial, módulo
(não precisamos do valor numérico, só da direção), - componente horizontal (para frente) da velocidade inicial:
, - componente vertical (para cima) da velocidade inicial:
.
Aqui usei queé o ângulo entre a velocidade inicial e a vertical; portanto a componente horizontal é e a vertical é .
- velocidade inicial, módulo
- Origem do tempo:
no instante do lançamento. Origem espacial: posição da mão no momento do lançamento.
Passo 3
Equação do movimento vertical no referencial do trem e tempo de subida/descida.
- A equação do deslocamento vertical (para cima positivo) é
porque a aceleração vertical é
.
- A bola retorna à mão quando
(além do instante trivial ). Para temos
- Factorando
e resolvendo para não nulo:
- Interpretação didática: este é o tempo total do voo (subida + descida). A fórmula usual para tempo de voo quando se lança verticalmente com velocidade
contra a gravidade é . Aqui vale a mesma ideia porque a aceleração vertical é apenas .
Passo 4
Equação do movimento horizontal no referencial do trem e condição para retorno à mão.
- A equação do deslocamento horizontal (para frente positivo) é
porque a aceleração horizontal no referencial do trem é
(ou seja, aceleração para trás).
- Para a bola voltar exatamente à mão, o deslocamento horizontal relativo deve ser zero no tempo
do voo:
- Substituo o valor de
obtido no passo anterior, , na equação horizontal:
Agora simplifico passo a passo:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Divido por
(aqui
porque houve lançamento para cima):
Assim obtemos a relação simples
Passo 5
Expressar a relação em termos do ângulo
.
- Lembre que
e . Portanto
- Substituindo na relação do passo anterior,
Passo 6
Interpretação física e comentário prático (motivação).
- O resultado significa que, no referencial do trem, o “vetor aceleração efetiva” que atua na bola é a soma de
(gravidade para baixo) com (aceleração fictícia para trás). Esse vetor resultante aponta para baixo e um pouco para trás; a direção “vertical efetiva” no trem está inclinada para trás de um ângulo tal que . Para a bola subir e descer ao longo dessa vertical efetiva (isto é, voltar à mão), a velocidade inicial deve ser alinhada com a direção oposta (para cima dessa vertical efetiva) — que corresponde a lançar com um ângulo em relação à vertical para frente, com . - Intuição: se o trem acelera para frente, a bola tende a ficar “para trás” em relação ao trem; para compensar isso, deve-se dar à bola um componente horizontal para frente ao lançá‑la, na proporção dada por
.