Em um trem movendo-se com velocidade constante, uma bola lançada para cima retorna diretamente à mão da pessoa. Se o trem tiver uma aceleração a, mostre que, para que isso aconteça, a bola deve ser lançada com um ângulo \theta em relação à vertical na direção para frente, onde \tan \theta=a / g.

Passo 1

O enunciado diz que um trem acelera para frente com aceleração a. Uma pessoa, dentro do trem, lança uma bola para cima de modo que ela volte exatamente para a sua mão. Pede-se que se mostre que, para isso ocorrer, a bola deve ser lançada formando um ângulo \theta em relação à vertical, na direção para frente, tal que
\tan\theta=\frac{a}{g}.
Informações relevantes dadas:
  • Aceleração do trem (para frente): a.
  • Aceleração da gravidade (para baixo): g.
  • A bola deve voltar à mesma posição relativa na mão da pessoa (ou seja, deslocamento relativo da bola no trem = 0 durante o voo).
  • Ângulo \theta é medido em relação à vertical, na direção para frente do trem.

Passo 2

Escolha de referencial e convenções (muito importante para organizar as contas).
  • Vou trabalhar no referencial solidário ao trem (referencial não-inercial). Isso é prático porque a mão da pessoa está fixa nesse referencial e queremos que a bola retorne à mesma posição relativa.
  • Neste referencial aparece uma força fictícia (força inercial) equivalente a uma aceleração para trás de módulo a. Em termos de acelerações, a bola é submetida a:
    • aceleração vertical para baixo: -g,
    • aceleração horizontal para trás: -a (ou seja, componente horizontal da aceleração efetiva é -a).
  • Defino e explico as variáveis iniciais do lançamento, medidas no referencial do trem:
    • velocidade inicial, módulo u (não precisamos do valor numérico, só da direção),
    • componente horizontal (para frente) da velocidade inicial: v_{x0}=u\sin\theta,
    • componente vertical (para cima) da velocidade inicial: v_{y0}=u\cos\theta.
      Aqui usei que \theta é o ângulo entre a velocidade inicial e a vertical; portanto a componente horizontal é \sin\theta e a vertical é \cos\theta.
  • Origem do tempo: t=0 no instante do lançamento. Origem espacial: posição da mão no momento do lançamento.

Passo 3

Equação do movimento vertical no referencial do trem e tempo de subida/descida.
  • A equação do deslocamento vertical (para cima positivo) é
y(t)=v_{y0}t-\tfrac{1}{2}gt^2,
porque a aceleração vertical é -g.
  • A bola retorna à mão quando y(T)=0 (além do instante trivial t=0). Para t=T\neq0 temos
v_{y0}T-\tfrac{1}{2}gT^2=0.
  • Factorando T e resolvendo para T não nulo:
T\left(v_{y0}-\tfrac{1}{2}gT\right)=0\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2v_{y0}}{g}.
  • Interpretação didática: este é o tempo total do voo (subida + descida). A fórmula usual para tempo de voo quando se lança verticalmente com velocidade v_{y0} contra a gravidade é T=2v_{y0}/g. Aqui vale a mesma ideia porque a aceleração vertical é apenas -g.

Passo 4

Equação do movimento horizontal no referencial do trem e condição para retorno à mão.
  • A equação do deslocamento horizontal (para frente positivo) é
x(t)=v_{x0}t-\tfrac{1}{2}at^2,
porque a aceleração horizontal no referencial do trem é -a (ou seja, aceleração para trás).
  • Para a bola voltar exatamente à mão, o deslocamento horizontal relativo deve ser zero no tempo T do voo:
x(T)=v_{x0}T-\tfrac{1}{2}aT^2=0.
  • Substituo o valor de T obtido no passo anterior, T=\dfrac{2v_{y0}}{g}, na equação horizontal:
v_{x0}\left(\frac{2v_{y0}}{g}\right)-\tfrac{1}{2}a\left(\frac{2v_{y0}}{g}\right)^2=0.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{2v_{x0}v_{y0}}{g}-\tfrac{1}{2}a\cdot\frac{4v_{y0}^2}{g^2}=0.
\frac{2v_{x0}v_{y0}}{g}-\frac{2a v_{y0}^2}{g^2}=0.
Multiplico ambos os lados por g^2 para eliminar denominadores:
2v_{x0}v_{y0}g-2a v_{y0}^2=0.
Divido por 2v_{y0} (aqui v_{y0}\neq0 porque houve lançamento para cima):
v_{x0}g-a v_{y0}=0.
Assim obtemos a relação simples
\frac{v_{x0}}{v_{y0}}=\frac{a}{g}.

Passo 5

Expressar a relação em termos do ângulo \theta.
  • Lembre que v_{x0}=u\sin\theta e v_{y0}=u\cos\theta. Portanto
\frac{v_{x0}}{v_{y0}}=\frac{u\sin\theta}{u\cos\theta}=\tan\theta.
  • Substituindo na relação do passo anterior,
\tan\theta=\frac{a}{g}.

Passo 6

Interpretação física e comentário prático (motivação).
  • O resultado significa que, no referencial do trem, o “vetor aceleração efetiva” que atua na bola é a soma de (0,-g) (gravidade para baixo) com (-a,0) (aceleração fictícia para trás). Esse vetor resultante aponta para baixo e um pouco para trás; a direção “vertical efetiva” no trem está inclinada para trás de um ângulo \varphi tal que \tan\varphi=a/g. Para a bola subir e descer ao longo dessa vertical efetiva (isto é, voltar à mão), a velocidade inicial deve ser alinhada com a direção oposta (para cima dessa vertical efetiva) — que corresponde a lançar com um ângulo \theta em relação à vertical para frente, com \tan\theta=a/g.
  • Intuição: se o trem acelera para frente, a bola tende a ficar “para trás” em relação ao trem; para compensar isso, deve-se dar à bola um componente horizontal para frente ao lançá‑la, na proporção dada por a/g.

Resposta

\tan\theta=\dfrac{a}{g}

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