1. (2,5) Um trem parte do repouso e se desloca com aceleração constante. Num dado instante, sua velocidade é 10 \mathrm{m} / \mathrm{s} e 60 m adiante sua velocidade passa a 17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule (a) o tempo necessário para percorrer a distância de 60 m mencionada e (b) a distância percorrida desde o repouso até atingir a velocidade de 17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirei estes valores do enunciado):
  • Começa do repouso, logo a velocidade inicial desde o início é \,v_{inicial}=0\\ \mathrm{m/s}.
  • Em um dado instante a velocidade vale \,10\\ \mathrm{m/s}.
  • A 60\\ \mathrm{m} à frente dessa posição a velocidade vale \,17\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração é constante (desconhecida).
O enunciado pede:
(a) o tempo necessário para percorrer a distância de 60\\ \mathrm{m} em que a velocidade vai de 10\\ \mathrm{m/s} para 17\\ \mathrm{m/s};
(b) a distância percorrida desde o repouso até atingir a velocidade de 17\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Apresento as fórmulas que usamos para movimento retilíneo com aceleração constante e explico cada variável.
  • Variáveis:
    • \,v_0 : velocidade inicial do trecho considerado (em \mathrm{m/s}).
    • \,v : velocidade final do trecho (em \mathrm{m/s}).
    • \,a : aceleração constante (em \mathrm{m/s^2}).
    • \,\Delta x : deslocamento no trecho (em \mathrm{m}).
    • \,t : tempo gasto no trecho (em s).
  • Fórmulas úteis (derivadas diretamente das definições para aceleração constante):
    1. \displaystyle v = v_0 + a\,t. Explica: velocidade é variação linear no tempo quando a é constante.
    2. \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x. Útil para ligar velocidades, aceleração e deslocamento sem usar o tempo.
    3. \displaystyle \Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2. Liga deslocamento com o tempo.
Vou usar (2) para encontrar a no trecho entre 10 e 17\\ \mathrm{m/s}, porque dá a a partir de \Delta x sem precisar do tempo inicialmente. Depois uso (1) ou média das velocidades para achar o tempo.

Passo 3

Calcular a aceleração a no trecho em que v_0=10\\ \mathrm{m/s}, v=17\\ \mathrm{m/s} e \Delta x=60\\ \mathrm{m}, usando \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x.
Escrevendo e isolando a:
a=\frac{v^2-v_0^2}{2\,\Delta x}.
Substituindo os números:
a=\frac{17^2-10^2}{2\cdot 60}=\frac{289-100}{120}=\frac{189}{120}.
Simplificando \frac{189}{120} dividindo por 3:
a=\frac{63}{40}=\;1{,}575\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular o tempo para percorrer os 60\\ \mathrm{m} com velocidade passando de 10 para 17\\ \mathrm{m/s}.
Método direto usando \displaystyle v = v_0 + a t. Isolando t:
t=\frac{v-v_0}{a}.
Substituindo v-v_0=17-10=7 e a=\dfrac{63}{40}:
t=\frac{7}{63/40}=7\cdot\frac{40}{63}=\frac{280}{63}=\frac{40}{9}.
Como decimal:
t=\frac{40}{9}\\ \mathrm{s}\approx 4{,}44\\ \mathrm{s}.
Observação didática (jeito rápido que dá o mesmo resultado): com aceleração constante a velocidade média no trecho é \displaystyle \frac{10+17}{2}=13{,}5\\ \mathrm{m/s}. Então t=\dfrac{60}{13{,}5}=\dfrac{60}{27/2}=\dfrac{120}{27}=\dfrac{40}{9}, mesmo valor.

Passo 5

Calcular a distância percorrida desde o repouso até atingir 17\\ \mathrm{m/s}.
Aqui v_0=0, v=17 e a aceleração é a mesma a=\dfrac{63}{40}. Usamos novamente
v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x \quad\Rightarrow\quad \Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}.
Como v_0=0:
\Delta x=\frac{17^2}{2a}=\frac{289}{2\cdot (63/40)}=\frac{289}{126/40}=289\cdot\frac{40}{126}.
Simplificando:
\Delta x=\frac{5780}{63}\\ \mathrm{m}\approx 91{,}75\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido (verificação interna): a distância desde v=0 até v=10 deve ser \Delta x_{0\to10}=\Delta x_{0\to17}-60. Calculando:
\frac{5780}{63}-60=\frac{5780-3780}{63}=\frac{2000}{63}\approx 31{,}75\\ \mathrm{m}.
Também pode-se obter esse valor direto por x=\dfrac{10^2}{2a}=\dfrac{100}{2\cdot(63/40)}=\dfrac{2000}{63}, coincide — portanto os números estão consistentes.

Resposta

(a) t=\dfrac{40}{9}\\ \mathrm{s}\approx 4{,}44\\ \mathrm{s}
(b) \Delta x=\dfrac{5780}{63}\\ \mathrm{m}\approx 91{,}75\\ \mathrm{m}

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