Se A B C é um triângulo isóceles de base B C, isto é, A B=A C, e as medianas relativas aos lados A B e A C são perpendiculares entre sí, então:
(a) A B C é equilátero.
(b) A B=2 \cdot B C.
(c) \operatorname{tg} \hat{B}=3.
(d) \hat{B}=45^{\circ}
(e) \hat{A}=30^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Triângulo A B C isósceles com base B C, isto é, A B = A C.
  • As medianas relativas aos lados A B e A C são perpendiculares entre si. (A mediana relativa a A B é a reta que une o vértice oposto C ao ponto médio de A B; análogamente para a mediana relativa a A C.)
O enunciado apresenta cinco alternativas e pede que se identifique qual(is) é(são) verdadeira(s):
(a) A B C é equilátero.
(b) A B=2\cdot B C.
(c) \operatorname{tg}\hat{B}=3.
(d) \hat{B}=45^{\circ}.
(e) \hat{A}=30^{\circ}.
Vou usar as informações dadas para calcular relações geométricas que permitam verificar cada alternativa.

Passo 2

Escolha de coordenadas (técnica prática muito usada em provas): como A B = A C, o vértice A fica no eixo de simetria do triângulo. Coloco o segmento B C sobre o eixo x e tomo coordenadas simétricas para B e C:
B = (-b,0),\qquad C=(b,0),\qquad A=(0,h),
com b>0 e h>0. Assim B C tem comprimento \,2b e os comprimentos A B e A C serão iguais por simetria.
Lembrete: o ponto médio de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\big).
Calculo dos pontos médios necessários:
  • Ponto médio de A B:
M_{AB}=\left(\tfrac{0+(-b)}{2},\tfrac{h+0}{2}\right)=\left(-\tfrac{b}{2},\tfrac{h}{2}\right).
  • Ponto médio de A C:
M_{AC}=\left(\tfrac{0+b}{2},\tfrac{h+0}{2}\right)=\left(\tfrac{b}{2},\tfrac{h}{2}\right).

Passo 3

Escrevo vetores que representam as medianas:
  • Mediana relativa a A B vai de C a M_{AB}. O vetor é
\vec{u}=M_{AB}-C=\left(-\tfrac{b}{2}-b,\;\tfrac{h}{2}-0\right)=\left(-\tfrac{3b}{2},\;\tfrac{h}{2}\right).
  • Mediana relativa a A C vai de B a M_{AC}. O vetor é
\vec{v}=M_{AC}-B=\left(\tfrac{b}{2}-(-b),\;\tfrac{h}{2}-0\right)=\left(\tfrac{3b}{2},\;\tfrac{h}{2}\right).

Passo 4

As medianas são perpendiculares, logo os vetores \vec{u} e \vec{v} têm produto escalar zero. Recordando: para dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) o produto escalar é x_1x_2+y_1y_2. Então
\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(-\tfrac{3b}{2}\right)\left(\tfrac{3b}{2}\right)+\left(\tfrac{h}{2}\right)\left(\tfrac{h}{2}\right)=0.
Isso dá
-\tfrac{9b^{2}}{4}+\tfrac{h^{2}}{4}=0.
Multiplicando por 4 e isolando h^{2},
h^{2}=9b^{2}\quad\Rightarrow\quad h=3b\quad(\text{como }h>0).
Portanto a hipótese de perpendicularidade obrigou h=3b. Vou usar isso nas contas seguintes.

Passo 5

Calcular \operatorname{tg}\hat{B}. A tangente do ângulo \hat{B} do triângulo é a razão entre a componente vertical e a componente horizontal do segmento B A quando tomamos a direção B\to C como referência horizontal. Vetor B A é
\overrightarrow{B A}=A-B=(0-(-b),\;h-0)=(b,h).
Com h=3b temos \overrightarrow{B A}=(b,3b). O segmento B C é horizontal (vetor (2b,0)), então o ângulo \hat{B} é o ângulo que o vetor \overrightarrow{B A} faz com o eixo x. A tangente desse ângulo é a inclinação (slope) do vetor:
\operatorname{tg}\hat{B}=\frac{\text{componente vertical}}{\text{componente horizontal}}=\frac{3b}{b}=3.
Assim obtemos explicitamente \operatorname{tg}\hat{B}=3.

Passo 6

Verifico rapidamente as outras alternativas para eliminar confusões:
  • Comprimentos: A B=\sqrt{b^{2}+h^{2}}=\sqrt{b^{2}+(3b)^{2}}=\sqrt{10}\,b e B C=2b. Logo A B\neq B C (não é equilátero) e A B\neq 2\cdot B C porque \sqrt{10}\,b\neq 4b. Portanto (a) e (b) são falsas.
  • Ângulo \hat{B}: como \operatorname{tg}\hat{B}=3, \hat{B} não é 45^{\circ} (pois \operatorname{tg}45^{\circ}=1). Assim (d) é falsa.
  • Ângulo \hat{A}: podemos calcular \cos\hat{A} para checar (só para ter valor numérico). Usando vectores \overrightarrow{A B}=(-b,-3b) e \overrightarrow{A C}=(b,-3b),
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}=(-b)(b)+(-3b)(-3b)=-b^{2}+9b^{2}=8b^{2},
e |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A C}|=\sqrt{10}\,b. Logo
\cos\hat{A}=\frac{8b^{2}}{(\sqrt{10}\,b)(\sqrt{10}\,b)}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},
o que dá \hat{A}=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{4}{5}\right)\approx 36{,}87^{\circ}, não 30^{\circ}. Portanto (e) é falsa.

Resposta

(c) \operatorname{tg}\hat{B}=3

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