Num triedro, duas faces medem respectivamente 110^{\circ} e 140^{\circ}. Determine o intervalo de variação da medida da terceira face.

Passo 1

O enunciado dá que, num triedro, duas faces têm medidas \,110^\circ e \,140^\circ. Pede-se: determinar o intervalo de variação possível da medida da terceira face (ou seja, quais valores essa terceira medida pode assumir).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Duas faces são \alpha=110^\circ e \beta=140^\circ.
  • A terceira face será chamada de \gamma (medida em graus).
  • É necessário encontrar todas as restrições que \gamma deve satisfazer para que exista um triedro com essas três faces.

Passo 2

Modelagem geométrica intuitiva (ferramenta que vamos usar).
Um triedro no espaço pode ser representado pelas três semirretas que saem do vértice; cada face é o ângulo plano formado por um par dessas semirretas. Para trabalhar com desigualdades entre esses ângulos é útil colocar as extremidades dessas semirretas sobre a esfera unitária centrada no vértice: cada semirreta intercepta a esfera em um ponto, e o ângulo entre duas semirretas é justamente o ângulo central (distância angular) entre os dois pontos na esfera.
Definições usadas:
  • Sejam A,B,C os pontos da esfera correspondentes às três semirretas.
  • Os comprimentos dos arcos geodésicos maiores (ângulos centrais) entre esses pontos são: AB = \alpha = 110^\circ,\qquad AC = \beta = 140^\circ,\qquad BC = \gamma.
  • Esses três números são os comprimentos dos lados de um “triângulo” na esfera (triângulo esférico cujos lados são arcos de grande círculo), e valem desigualdades análogas às da geometria de triângulos, com uma restrição extra relativa ao perímetro.

Passo 3

Desigualdade inferior (diferença absoluta).
Na esfera (assim como em qualquer métrica), vale a desigualdade triangular para as distâncias: cada lado é no máximo a soma dos outros dois e no mínimo o valor absoluto da diferença entre os outros dois. Aplicando a isso ao triângulo com lados AB,BC,CA, obtemos:
|AB-AC| < BC \le AB+AC.
Substituindo AB=\alpha=110^\circ e AC=\beta=140^\circ
|\;110^\circ-140^\circ\;| < \gamma \quad\Rightarrow\quad 30^\circ < \gamma.
Explicação didática: se um ponto da esfera está a 140^\circ de A e 110^\circ de B, então a distância entre os pontos correspondentes a B e C não pode ser menor que a diferença 140^\circ-110^\circ=30^\circ; caso contrário não seria possível conectar esses pontos respeitando as distâncias dadas.

Passo 4

Desigualdade superior (perímetro menor que 360^\circ).
Além da desigualdade triangular, num triângulo esférico os comprimentos dos três lados satisfazem
AB+AC+BC < 360^\circ,
porque três arcos de grande círculo que fecham um triângulo ocupam menos que uma volta inteira ao redor da esfera. Substituindo AB=110^\circ, AC=140^\circ e BC=\gamma obtemos:
110^\circ + 140^\circ + \gamma < 360^\circ \quad\Rightarrow\quad \gamma < 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ.
Portanto temos a desigualdade superior \gamma < 110^\circ.

Passo 5

Comparando as duas desigualdades obtidas.
Das etapas anteriores temos simultaneamente
30^\circ < \gamma \quad\text{e}\quad \gamma < 110^\circ.
Juntando-as:
30^\circ < \gamma < 110^\circ.

Passo 6

Discussão sobre estritas vs. não estritas (por que as desigualdades são estritas).
  • Se \gamma = 30^\circ então seria |110^\circ-140^\circ|=\gamma, o que corresponde a uma configuração degenerada em que os três pontos A,B,C ficam colineares sobre um mesmo grande círculo — geometricamente o triedro fica degenerado (duas faces “sobre” a terceira). Geralmente, para um triedro genuíno precisamos de desigualdades estritas; por isso não aceitamos o extremo \gamma=30^\circ.
  • Se \gamma = 110^\circ então 110^\circ+140^\circ+110^\circ=360^\circ, o que também é degenerado (os três arcos somam exatamente uma volta), novamente não corresponde a um triedro propriamente tridimensional (é caso limite coplanar). Logo esse extremo também não é permitido para um triedro não degenerado.
    Assim, os extremos não são atingidos e o intervalo é aberto.

Passo 7

Exemplo para intuição (opcional mas útil).
  • Pode-se imaginar \gamma aproximando-se de 30^\circ fazendo com que o ponto C fique muito próximo do grande círculo que passa por A e B, mas sem ficar exatamente sobre ele.
  • Pode-se imaginar \gamma aproximando-se de 110^\circ fazendo com que os três pontos A,B,C se distribuam ao longo de um grande círculo de modo que a soma das distâncias chegue perto de 360^\circ, sem chegar a ser exatamente 360^\circ.

Resposta

(30^\circ,110^\circ)

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