Num triedro, duas faces medem respectivamente
e
. Determine o intervalo de variação da medida da terceira face.
Passo 1
O enunciado dá que, num triedro, duas faces têm medidas
e
. Pede-se: determinar o intervalo de variação possível da medida da terceira face (ou seja, quais valores essa terceira medida pode assumir).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Duas faces são
e . - A terceira face será chamada de
(medida em graus). - É necessário encontrar todas as restrições que
deve satisfazer para que exista um triedro com essas três faces.
Passo 2
Modelagem geométrica intuitiva (ferramenta que vamos usar).
Um triedro no espaço pode ser representado pelas três semirretas que saem do vértice; cada face é o ângulo plano formado por um par dessas semirretas. Para trabalhar com desigualdades entre esses ângulos é útil colocar as extremidades dessas semirretas sobre a esfera unitária centrada no vértice: cada semirreta intercepta a esfera em um ponto, e o ângulo entre duas semirretas é justamente o ângulo central (distância angular) entre os dois pontos na esfera.
Um triedro no espaço pode ser representado pelas três semirretas que saem do vértice; cada face é o ângulo plano formado por um par dessas semirretas. Para trabalhar com desigualdades entre esses ângulos é útil colocar as extremidades dessas semirretas sobre a esfera unitária centrada no vértice: cada semirreta intercepta a esfera em um ponto, e o ângulo entre duas semirretas é justamente o ângulo central (distância angular) entre os dois pontos na esfera.
Definições usadas:
- Sejam
os pontos da esfera correspondentes às três semirretas. - Os comprimentos dos arcos geodésicos maiores (ângulos centrais) entre esses pontos são:
- Esses três números são os comprimentos dos lados de um “triângulo” na esfera (triângulo esférico cujos lados são arcos de grande círculo), e valem desigualdades análogas às da geometria de triângulos, com uma restrição extra relativa ao perímetro.
Passo 3
Desigualdade inferior (diferença absoluta).
Na esfera (assim como em qualquer métrica), vale a desigualdade triangular para as distâncias: cada lado é no máximo a soma dos outros dois e no mínimo o valor absoluto da diferença entre os outros dois. Aplicando a isso ao triângulo com lados , obtemos:
Na esfera (assim como em qualquer métrica), vale a desigualdade triangular para as distâncias: cada lado é no máximo a soma dos outros dois e no mínimo o valor absoluto da diferença entre os outros dois. Aplicando a isso ao triângulo com lados
Substituindo
e
dá
Explicação didática: se um ponto da esfera está a
de
e
de
, então a distância entre os pontos correspondentes a
e
não pode ser menor que a diferença
; caso contrário não seria possível conectar esses pontos respeitando as distâncias dadas.
Passo 4
Desigualdade superior (perímetro menor que
).
Além da desigualdade triangular, num triângulo esférico os comprimentos dos três lados satisfazem
Além da desigualdade triangular, num triângulo esférico os comprimentos dos três lados satisfazem
porque três arcos de grande círculo que fecham um triângulo ocupam menos que uma volta inteira ao redor da esfera. Substituindo
,
e
obtemos:
Portanto temos a desigualdade superior
.
Passo 5
Comparando as duas desigualdades obtidas.
Das etapas anteriores temos simultaneamente
Das etapas anteriores temos simultaneamente
Juntando-as:
Passo 6
Discussão sobre estritas vs. não estritas (por que as desigualdades são estritas).
- Se
então seria , o que corresponde a uma configuração degenerada em que os três pontos ficam colineares sobre um mesmo grande círculo — geometricamente o triedro fica degenerado (duas faces “sobre” a terceira). Geralmente, para um triedro genuíno precisamos de desigualdades estritas; por isso não aceitamos o extremo . - Se
então , o que também é degenerado (os três arcos somam exatamente uma volta), novamente não corresponde a um triedro propriamente tridimensional (é caso limite coplanar). Logo esse extremo também não é permitido para um triedro não degenerado.
Assim, os extremos não são atingidos e o intervalo é aberto.
Passo 7
Exemplo para intuição (opcional mas útil).
- Pode-se imaginar
aproximando-se de fazendo com que o ponto fique muito próximo do grande círculo que passa por e , mas sem ficar exatamente sobre ele. - Pode-se imaginar
aproximando-se de fazendo com que os três pontos se distribuam ao longo de um grande círculo de modo que a soma das distâncias chegue perto de , sem chegar a ser exatamente .