(Triedro de Frenet-Serret.) Dada a hélice \mathbf{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), com a, b>0 :
a) Calcule o vetor tangente unitário \hat{\mathbf{T}}(t)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}(t)}{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|}.
b) Calcule a curvatura \kappa=\frac{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
c) Determine o vetor normal principal \hat{\mathbf{N}}(t)=\frac{\hat{\mathbf{T}}^{\prime}(t)}{\left\|\hat{\mathbf{T}}^{\prime}(t)\right\|}.
d) Calcule o vetor binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}(t) \times \hat{\mathbf{N}}(t) e mostre que ele é constante.
e) Expresse \kappa e a torção \tau em função de a e b.
Passo 1
O enunciado dá a hélice \mathbf{r}(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b t) com a,b>0 e pede, passo a passo:
(a) o vetor tangente unitário \hat{\mathbf{T}}(t);
(b) a curvatura \kappa pela fórmula com produto vetorial;
(c) o vetor normal principal \hat{\mathbf{N}}(t);
(d) o vetor binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}\times\hat{\mathbf{N}} e verificar a afirmação sobre ser constante;
(e) expressar \kappa e a torção \tau em função de a e b.
Informações relevantes fornecidas:
A parametrização \mathbf{r}(t) está explícita.
Os parâmetros a e b são constantes positivas.
Devem ser usadas as definições clássicas do triedro de Frenet–Serret:
onde o produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' e sua norma representa a área do paralelogramo gerado — essa área está ligada à mudança de direção do vetor velocidade.
Calculemos o produto vetorial (faça como determinante):
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] - a\sin t & a\cos t & b\\[4pt] - a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix} =(ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2).
Interpretação geométrica simples: \hat{\mathbf{N}}(t) aponta radialmente para dentro do eixo da hélice (aponta para o centro do cilindro de raio a), e é unitário.
Passo 5
Calcular o binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}(t)\times\hat{\mathbf{N}}(t) e discutir a suposta constância.
\hat{\mathbf{B}}(t) é unitário (pode verificar que a soma dos quadrados das componentes dá 1).
As primeiras duas componentes dependem de t (são b\sin t e -b\cos t divididas por \sqrt{a^2+b^2}), portanto o vetor binormal varia com t e não é um vetor constante no espaço em geral.
No entanto a componente z de \hat{\mathbf{B}}(t) é constante e igual a \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}. Isso significa que \hat{\mathbf{B}}(t) forma um ângulo fixo com o eixo z, embora gire em torno desse eixo.
Portanto a afirmação “ele é constante” não é verdadeira no sentido de vetor constante; o que é constante é a sua componente z (e o fato de \|\hat{\mathbf{B}}\|=1). Também \hat{\mathbf{B}}'(t) tem norma constante (ver Frenet abaixo).
Para conectar com as fórmulas de Frenet, lembra-se que
isto mostra que \hat{\mathbf{B}}'(t) é proporcional a \hat{\mathbf{N}}(t); como aqui a torção será constante, \hat{\mathbf{B}}'(t) tem direção variável (pois \hat{\mathbf{N}}(t) varia) mas norma constante.
Passo 6
Calcular a torção \tau e apresentar \kappa e \tau em função de a e b.
(d) \displaystyle \hat{\mathbf{B}}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr). \displaystyle O vetor \hat{\mathbf{B}}(t) não é constante no espaço (suas componentes dependem de t), embora sua componente z seja constante e igual a \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.