(Triedro de Frenet-Serret.) Dada a hélice \mathbf{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), com a, b>0 :
a) Calcule o vetor tangente unitário \hat{\mathbf{T}}(t)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}(t)}{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|}.
b) Calcule a curvatura \kappa=\frac{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
c) Determine o vetor normal principal \hat{\mathbf{N}}(t)=\frac{\hat{\mathbf{T}}^{\prime}(t)}{\left\|\hat{\mathbf{T}}^{\prime}(t)\right\|}.
d) Calcule o vetor binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}(t) \times \hat{\mathbf{N}}(t) e mostre que ele é constante.
e) Expresse \kappa e a torção \tau em função de a e b.

Passo 1

O enunciado dá a hélice \mathbf{r}(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b t) com a,b>0 e pede, passo a passo:
  • (a) o vetor tangente unitário \hat{\mathbf{T}}(t);
  • (b) a curvatura \kappa pela fórmula com produto vetorial;
  • (c) o vetor normal principal \hat{\mathbf{N}}(t);
  • (d) o vetor binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}\times\hat{\mathbf{N}} e verificar a afirmação sobre ser constante;
  • (e) expressar \kappa e a torção \tau em função de a e b.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização \mathbf{r}(t) está explícita.
  • Os parâmetros a e b são constantes positivas.
  • Devem ser usadas as definições clássicas do triedro de Frenet–Serret:
    • \hat{\mathbf{T}}=\dfrac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|};
    • \kappa=\dfrac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3};
    • \hat{\mathbf{N}}=\dfrac{\hat{\mathbf{T}}'}{\|\hat{\mathbf{T}}'\|};
    • \hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}}\times\hat{\mathbf{N}};
    • a torção pode ser obtida por \displaystyle \tau=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}.

Passo 2

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma — isso dá o ponto de partida para \hat{\mathbf{T}}.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr).
Agora a norma: usar que \sin^2 t+\cos^2 t=1,
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2} =\sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+b^2} =\sqrt{a^2+b^2}.
Observação didática: a norma saiu constante por causa da forma circular nas duas primeiras componentes — isto simplifica muito os cálculos seguintes.
Logo o vetor tangente unitário é a derivada dividida pela norma:
\hat{\mathbf{T}}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr).

Passo 3

Calcular \mathbf{r}''(t) e usar a fórmula da curvatura por produto vetorial.
Derivando outra vez:
\mathbf{r}''(t)=\bigl(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0\bigr).
Explicação rápida do método para \kappa: a curvatura mede a intensidade com que a curva “vira”; uma fórmula conveniente é
\kappa=\frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3},
onde o produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' e sua norma representa a área do paralelogramo gerado — essa área está ligada à mudança de direção do vetor velocidade.
Calculemos o produto vetorial (faça como determinante):
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] - a\sin t & a\cos t & b\\[4pt] - a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix} =(ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2).
Agora a norma:
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| =\sqrt{(ab\sin t)^2+(-ab\cos t)^2+(a^2)^2} =\sqrt{a^2b^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+a^4} =\sqrt{a^2b^2+a^4} =a\sqrt{a^2+b^2}.
Aplicando a fórmula da curvatura com \|\mathbf{r}'\|=\sqrt{a^2+b^2},
\kappa=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(\sqrt{a^2+b^2})^3} =\frac{a}{a^2+b^2}.
Comentário didático: perceba que \kappa saiu constante (independente de t), típica propriedade da hélice circular — ela “vira” com taxa constante.]

Passo 4

Determinar \hat{\mathbf{N}}(t). A ideia: derivar \hat{\mathbf{T}}(t) e normalizar.
Como \hat{\mathbf{T}}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a\sin t,\;a\cos t,\;b), sua derivada é
\hat{\mathbf{T}}'(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0\bigr).
Explicação: a constante 1/\sqrt{a^2+b^2} sai da derivada; a derivada de -a\sin t é -a\cos t e de a\cos t é -a\sin t.
Calcule a norma de \hat{\mathbf{T}}'(t):
\|\hat{\mathbf{T}}'(t)\| =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{(-a\cos t)^2+(-a\sin t)^2} =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{a^2(\cos^2 t+\sin^2 t)} =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Logo o vetor normal principal (direção da variação do tangente) é
\hat{\mathbf{N}}(t)=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{\|\hat{\mathbf{T}}'(t)\|} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a\cos t,-a\sin t,0)}{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}} =(-\cos t,\;-\sin t,\;0).
Interpretação geométrica simples: \hat{\mathbf{N}}(t) aponta radialmente para dentro do eixo da hélice (aponta para o centro do cilindro de raio a), e é unitário.

Passo 5

Calcular o binormal \hat{\mathbf{B}}(t)=\hat{\mathbf{T}}(t)\times\hat{\mathbf{N}}(t) e discutir a suposta constância.
Usando as expressões encontradas:
\hat{\mathbf{T}}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a\sin t,\;a\cos t,\;b), \qquad \hat{\mathbf{N}}(t)=(-\cos t,\;-\sin t,\;0).
Fazendo o produto vetorial:
\hat{\mathbf{B}}(t) =\hat{\mathbf{T}}(t)\times\hat{\mathbf{N}}(t) =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr).
Observações importantes:
  • \hat{\mathbf{B}}(t) é unitário (pode verificar que a soma dos quadrados das componentes dá 1).
  • As primeiras duas componentes dependem de t (são b\sin t e -b\cos t divididas por \sqrt{a^2+b^2}), portanto o vetor binormal varia com t e não é um vetor constante no espaço em geral.
  • No entanto a componente z de \hat{\mathbf{B}}(t) é constante e igual a \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}. Isso significa que \hat{\mathbf{B}}(t) forma um ângulo fixo com o eixo z, embora gire em torno desse eixo.
  • Portanto a afirmação “ele é constante” não é verdadeira no sentido de vetor constante; o que é constante é a sua componente z (e o fato de \|\hat{\mathbf{B}}\|=1). Também \hat{\mathbf{B}}'(t) tem norma constante (ver Frenet abaixo).
Para conectar com as fórmulas de Frenet, lembra-se que
\hat{\mathbf{B}}'(t)=-\tau(t)\,\hat{\mathbf{N}}(t),
isto mostra que \hat{\mathbf{B}}'(t) é proporcional a \hat{\mathbf{N}}(t); como aqui a torção será constante, \hat{\mathbf{B}}'(t) tem direção variável (pois \hat{\mathbf{N}}(t) varia) mas norma constante.

Passo 6

Calcular a torção \tau e apresentar \kappa e \tau em função de a e b.
Fórmula conveniente para a torção é
\tau=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}.
Já temos \mathbf{r}' e \mathbf{r}''; calcule \mathbf{r}''':
\mathbf{r}'''(t)=\bigl(a\sin t,\;-a\cos t,\;0\bigr).
Usamos o produto vetorial previamente encontrado
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2).
O produto misto (produto escalar do produto vetorial com \mathbf{r}''') é
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' =ab\sin t\cdot a\sin t + (-ab\cos t)\cdot(-a\cos t) + a^2\cdot 0 = a^2 b(\sin^2 t+\cos^2 t) = a^2 b.
A denominação já calculada:
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2=\bigl(a\sqrt{a^2+b^2}\bigr)^2=a^2(a^2+b^2).
Logo a torção é
\tau=\frac{a^2 b}{a^2(a^2+b^2)}=\frac{b}{a^2+b^2}.
Resumo: ambas curvatura e torção são constantes (independentemente de t):
\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}, \qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\mathbf{T}}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr)
(b) \displaystyle \kappa=\frac{a}{a^2+b^2}
(c) \displaystyle \hat{\mathbf{N}}(t)=(-\cos t,\;-\sin t,\;0)
(d) \displaystyle \hat{\mathbf{B}}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr).
\displaystyle O vetor \hat{\mathbf{B}}(t) não é constante no espaço (suas componentes dependem de t), embora sua componente z seja constante e igual a \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.
(e) \displaystyle \kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}

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