Um tubo de 7 cm de diâmetro interno e 7 m de comprimento é usado em um trocador de calor para o escoamento de água a 0,03 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de 25^{\circ} \mathrm{C} a 45^{\circ} \mathrm{C}. A perda de carga na tubulação é de 4,1 \mathrm{~m}. Determine o calor trocado sabendo que o escoamento é descendente.
Dados: \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\rho}=4.184 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados nos são fornecidos.
  • Pedido: determinar o calor trocado (potência térmica fornecida ao fluido) sabendo que o escoamento é descendente.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro interno do tubo: D = 0,07\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo: L = 7\\ \mathrm{m}.
    • Vazão volumétrica: \dot{V} = 0,03\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Temperatura de entrada: T_{\rm in}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída: T_{\rm out}=45^\circ\mathrm{C}.
    • Perda de carga (head loss) na tubulação: h_{f}=4,1\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Calor específico da água: c=4{,}184\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Observação importante que influencia o balanço de energia: o escoamento é descendente ao longo de L=7\\ \mathrm{m}, logo a queda de nível é \Delta z = z_{1}-z_{2}=7\\ \mathrm{m} (energia potencial liberada).

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
  • Fórmula: \dot{m}=\rho\,\dot{V}.
  • Substituindo os valores: \dot{m}=1000\cdot 0,03=30\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Estabelecer o balanço de energia (em regime estacionário) e isolar o calor trocado com a superfície.
Explicação física e fórmula:
  • A variação de entalpia do fluido entre entrada e saída (aproximada por c\Delta T para líquido incompressível) resulta da soma de:
    • calor fornecido externamente ao fluido \dot{Q} (o que queremos);
    • energia liberada pela queda de nível (gravidade), que aumenta a energia interna do fluido: \dot{m}\,g\,(z_{1}-z_{2});
    • energia gerada pela dissipação viscosa (perda de carga), que também se transforma em calor no fluido: \dot{m}\,g\,h_{f}.
  • Assim, o balanço de energia por unidade de tempo é \dot{m}\,c\,(T_{\rm out}-T_{\rm in})=\dot{Q}+\dot{m}\,g\,(z_{1}-z_{2})+\dot{m}\,g\,h_{f}.
  • Isolando \dot{Q}: \dot{Q}=\dot{m}\,c\,(T_{\rm out}-T_{\rm in})-\dot{m}\,g\,(z_{1}-z_{2})-\dot{m}\,g\,h_{f}.
Breve comentário: sinais coerentes — a queda de altura e a dissipação por atrito fornecem energia ao fluido, então a energia que precisa ser fornecida externamente ( \dot{Q}) é menor que \dot{m}c\Delta T.

Passo 4

Calcular o termo associado à variação de temperatura: \dot{m}\,c\,\Delta T.
  • Diferença de temperatura: \Delta T=T_{\rm out}-T_{\rm in}=45-25=20\\ \mathrm{K}.
  • Calor por unidade de massa: c\Delta T=4184\cdot 20=83\,680\\ \mathrm{J/kg}.
  • Multiplicando pela vazão mássica: \dot{m}\,c\,\Delta T=30\cdot 83\,680=2\,510\,400\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular o termo da energia liberada pela queda de nível: \dot{m}\,g\,(z_{1}-z_{2}).
  • Substituindo: \dot{m}\,g\,(z_{1}-z_{2})=30\cdot 9{,}81\cdot 7=30\cdot 68{,}67=2\,060{,}1\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular o termo da energia gerada pela perda de carga (dissipação): \dot{m}\,g\,h_{f}.
  • Substituindo: \dot{m}\,g\,h_{f}=30\cdot 9{,}81\cdot 4{,}1=30\cdot 40{,}221=1\,206{,}63\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular o calor trocado \dot{Q} usando a fórmula do Passo 3 e os termos calculados.
  • Aplicando: \dot{Q}=2\,510\,400-2\,060{,}1-1\,206{,}63=2\,507\,133{,}27\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando a um número significativo apropriado (3 algarismos significativos): \dot{Q}\approx 2{,}51\times 10^{6}\\ \mathrm{W}=2{,}51\\ \mathrm{MW}.

Resposta

\dot{Q}=2{,}51\times 10^{6}\\ \mathrm{W}

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