O tubo em U contém mercúrio ( \mathrm{d}_{\mathrm{H}_{\mathrm{g}}}=13,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), água ( \mathrm{d}_{\text {ägua }}=1 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}ä ) e óleo \left(\mathrm{d}_{\text {oleo }}=0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right). Determine a altura da coluna de mercúrio, sabendo que a de óleo é 8 cm e a de água é 7,2 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura da coluna de mercúrio. Informações fornecidas (peguei as alturas da imagem):
  • Densidades: \rho_{\text{Hg}}=13,6\\ \mathrm{g/cm^3}, \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^3}á, \rho_{\text{óleo}}=0,8\\ \mathrm{g/cm^3}ó.
  • Alturas medidas na coluna da esquerda (extraídas da imagem): altura do óleo =8\\ \mathrm{cm} e altura da água =7,2\\ \mathrm{cm}.
  • Na perna direita do tubo há apenas mercúrio com altura desconhecida \,h que é o que se pede.
    O que preciso encontrar: a altura \,h da coluna de mercúrio na perna direita.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicadinho): a pressão hidrostática em um ponto abaixo da superfície de um fluido é dada por
P = P_{\text{superf}} + \rho g H,
onde:
  • P é a pressão no ponto considerado,
  • P_{\text{superf}} é a pressão na superfície do fluido (aqui é a pressão atmosférica nas superfícies abertas),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{g/cm^3} ou \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (aparece em todas as parcelas e vai se cancelar depois),
  • H é a altura (coluna) do fluido acima do ponto.
    Isso significa que, para dois caminhos que terminem no mesmo ponto horizontal e estejam abertos à mesma pressão atmosférica, as somas das contribuições \rho g H das colunas de fluido acima desse ponto devem ser iguais.

Passo 3

Aplicando isso ao ponto indicado pelo risco pontilhado (interface água–mercúrio na perna esquerda), a pressão nesse ponto vindo da perna esquerda vale
P_{\text{esq}} = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{óleo}}\,g\,(8\\ \mathrm{cm}) + \rho_{\text{água}}\,g\,(7,2\\ \mathrm{cm}).óá
Expliquei: sobe-se do ponto até o topo passando pela coluna de mercúrio (abaixo), depois pela água (7,2 cm) e depois pelo óleo (8 cm) até a superfície atmosférica; as contribuições relevantes acima do ponto são apenas óleo e água.

Passo 4

Na perna direita, subindo do mesmo ponto horizontal até a superfície (aberta ao ar) encontra-se somente uma coluna de mercúrio de altura \,h. Assim a pressão nesse mesmo ponto medida pela perna direita é
P_{\text{dir}} = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}}\,g\,h.

Passo 5

Como é o mesmo ponto físico, as duas pressões devem ser iguais: P_{\text{esq}}=P_{\text{dir}}. Então
P_{\text{atm}} + \rho_{\text{óleo}}\,g\,(8) + \rho_{\text{água}}\,g\,(7,2) = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}}\,g\,h.óá
Corta-se P_{\text{atm}} dos dois lados e também g (aparece multiplicando todos os termos), ficando
\rho_{\text{óleo}}\cdot 8 + \rho_{\text{água}}\cdot 7,2 = \rho_{\text{Hg}}\cdot h.óá
Isolando h:
h = \dfrac{\rho_{\text{óleo}}\cdot 8 + \rho_{\text{água}}\cdot 7,2}{\rho_{\text{Hg}}}.óá

Passo 6

Agora substituo os valores das densidades:
h = \dfrac{0,8\cdot 8 + 1\cdot 7,2}{13,6}.
Calculo passo a passo:
0,8\cdot 8 = 6,4, \qquad 1\cdot 7,2 = 7,2,
6,4 + 7,2 = 13,6,
h = \dfrac{13,6}{13,6} = 1.
Portanto \,h=1\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação e intuição rápida: como mercúrio é muito mais denso, uma pequena altura de mercúrio equilibra colunas maiores de fluidos menos densos. Aqui a soma das “alturas efetivas ponderadas” dos líquidos leves deu exatamente 13,6 (em unidades compatíveis), que dividida pela densidade do mercúrio resultou em 1 cm — tudo consistente.

Resposta

\,1\\ \mathrm{cm}

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