1. (UDESC 2008) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10 , o quarto termo é 80 ; logo, a razão dessa progressão é:
    a) 2
    b) 10
    c) 5
    d) 4
    e) 6

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O primeiro termo da progressão geométrica é a_1=10.
  • O quarto termo da progressão é a_4=80.
O que é pedido:
  • Determinar a razão r dessa progressão geométrica (escolher a alternativa correta entre as dadas).

Passo 2

Lembrete/fórmula fundamental para progressão geométrica: o n-ésimo termo de uma progressão geométrica é dado por
a_n = a_1\, r^{\,n-1},
onde:
  • a_n é o termo de posição n,
  • a_1 é o primeiro termo,
  • r é a razão (o fator que multiplica um termo para obter o próximo),
  • n é a posição do termo (um número natural).
Explicando de forma bem concreta: o segundo termo vale a_2=a_1 r, o terceiro vale a_3=a_1 r^2, o quarto vale a_4=a_1 r^3, e por aí vai. Isso vem de multiplicar por r a cada passo.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o quarto termo com os valores dados:
a_4 = a_1\, r^{3}.
Substituindo a_4=80 e a_1=10:
80 = 10\, r^{3}.

Passo 4

Isolando r^{3}: dividir ambos os lados por 10:
r^{3} = \frac{80}{10} = 8.

Passo 5

Resolver r^{3}=8. Observação prática: 8 é 2^{3}, pois 2\cdot2\cdot2=8. Então
r^{3}=2^{3}\quad\Rightarrow\quad r=2.
(Considera-se aqui a raiz real; o cubo de 2 é exatamente 8.)

Passo 6

Verificação rápida para ter certeza (sempre bom checar na prova): calcular os termos com r=2.
a_2 = a_1 r = 10\cdot2 = 20,
a_3 = a_2 r = 20\cdot2 = 40,
a_4 = a_3 r = 40\cdot2 = 80,
que coincide com o dado a_4=80. Portanto r=2 está correto.

Passo 7

Relacionando com as alternativas fornecidas: a alternativa que corresponde a r=2 é a letra (a).

Resposta

\text{(a)}\\\ 2

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