(UDESC, 2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no:
a) 9^{\circ} dia
b) 10^{\circ} \mathrm{dia}
c) 8^{\circ} dia
d) 5^{\circ} dia
e) 6^{\circ} dia

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A escola tem 512 alunos.
  • Inicialmente 1 aluno está contaminado (no primeiro dia).
  • A propagação dobra a cada dia: no segundo dia 2 contaminados, no terceiro dia 4, e assim por diante (cada dia o número é o dobro do dia anterior).
    A pergunta é: em que dia todos os 512 alunos teriam sarampo?

Passo 2

Modelagem do crescimento (explicação didática).
  • Quando cada termo da sequência é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chama-se sequência geométrica (ou progressão geométrica).
  • Aqui o número de contaminados a cada dia forma uma sequência geométrica com primeiro termo \,a_1=1, e razão \,r=2, (porque dobrou).
  • A fórmula geral do n-ésimo termo de uma progressão geométrica é
a_n = a_1 \, r^{\,n-1},
onde:
  • \,a_n é o número de contaminados no n-ésimo dia;
  • \,a_1 é o número no primeiro dia;
  • \,r é a razão (fator de multiplicação) entre dias consecutivos;
  • \,n é o número do dia.
  • Justificação simples da fórmula: a_2=a_1 r, a_3=a_2 r = a_1 r^2, e por indução chega-se a a_n=a_1 r^{\,n-1}.

Passo 3

Aplicando ao problema:
  • Aqui \,a_1=1 e \,r=2, então
a_n = 1\cdot 2^{\,n-1} = 2^{\,n-1}.
Queremos saber para qual n vale a_n=512. Então resolvemos
2^{\,n-1} = 512.

Passo 4

Resolver a equação exponencial (duas maneiras, uma por reconhecimento de potências e outra por logaritmo).
  • Reconhecimento de potências de 2: calcular algumas potências até chegar em 512:
2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32,
2^6=64,\quad 2^7=128,\quad 2^8=256,\quad 2^9=512.
Logo 512 = 2^9. Substituindo na equação:
2^{\,n-1}=2^9 \quad\Rightarrow\quad n-1=9 \quad\Rightarrow\quad n=10.
  • (Alternativa com logaritmo: tomar \log_2 em ambos os lados dá n-1=\log_2 512=9, também leva a n=10.)

Passo 5

Interpretação final e resposta à pergunta:
  • Todos os 512 alunos teriam sarampo no 10^{\circ} dia.
  • Portanto, a alternativa correta é a letra b).

Resposta

b) 10^{\circ} dia

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