(UDESC, 2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no:
a)
dia
b)
c)
dia
d)
dia
e)
dia
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A escola tem
alunos. - Inicialmente
aluno está contaminado (no primeiro dia). - A propagação dobra a cada dia: no segundo dia
contaminados, no terceiro dia , e assim por diante (cada dia o número é o dobro do dia anterior).
A pergunta é: em que dia todos osalunos teriam sarampo?
Passo 2
Modelagem do crescimento (explicação didática).
- Quando cada termo da sequência é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chama-se sequência geométrica (ou progressão geométrica).
- Aqui o número de contaminados a cada dia forma uma sequência geométrica com primeiro termo
, e razão , (porque dobrou). - A fórmula geral do
-ésimo termo de uma progressão geométrica é
onde:
-
é o número de contaminados no -ésimo dia; -
é o número no primeiro dia; -
é a razão (fator de multiplicação) entre dias consecutivos; -
é o número do dia. - Justificação simples da fórmula:
, , e por indução chega-se a .
Passo 3
Aplicando ao problema:
- Aqui
e , então
Queremos saber para qual
vale
. Então resolvemos
Passo 4
Resolver a equação exponencial (duas maneiras, uma por reconhecimento de potências e outra por logaritmo).
- Reconhecimento de potências de
: calcular algumas potências até chegar em :
Logo
. Substituindo na equação:
- (Alternativa com logaritmo: tomar
em ambos os lados dá , também leva a .)
Passo 5
Interpretação final e resposta à pergunta:
- Todos os
alunos teriam sarampo no dia. - Portanto, a alternativa correta é a letra b).
Resposta
b)
dia