(UFAL) As afirmações seguintes referem-se a progressões geométricas e/ou aritméticas.
( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.
( ) O vigésimo termo da sequência ( -8,-3,2,7, \ldots ) é 87.
( ) Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética. ( ) Se a sequência ( \sqrt{2}, 2, x ) é uma progressão geométrica, então x=\sqrt{2}.
( ) A soma dos termos da progressão aritmética \left(a_{1}, a_{2}, 12, a_{4}, \cdots, a_{97}, 116, a_{99}, a_{100}\right) é 6400.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede. Temos cinco afirmações que precisamos classificar como verdadeiras ou falsas. As afirmações são:
  1. ( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.
  2. ( ) O vigésimo termo da sequência (-8,-3,2,7,\ldots) é 87.
  3. ( ) Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética.
  4. ( ) Se a sequência (\sqrt{2},2,x) é uma progressão geométrica, então x=\sqrt{2}.
  5. ( ) A soma dos termos da progressão aritmética \bigl(a_{1},a_{2},12,a_{4},\ldots,a_{97},116,a_{99},a_{100}\bigr) é 6400.
O que se pede: analisar cada afirmação e decidir se é verdadeira ou falsa, justificando passo a passo.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.”
Primeiro, lembrar a definição de progressão geométrica (PG) e de sequência decrescente.
  • Uma sequência (a_n) é uma PG se existe r tal que, para todo n, a_{n+1}=a_n\cdot r. Aqui r é a razão.
  • Uma sequência é decrescente (estritamente decrescente) se, para todo n, a_{n+1}<a_n.
Agora, suponha que r<0. Isso faz com que os sinais dos termos alternem (positivo, negativo, positivo, …). Para ser decrescente precisamos que TODOS os pares consecutivos satisfaçam a_{n+1}<a_n. Mas se os sinais alternam, não é possível que isso ocorra para todos os n. Exemplo prático (contracexemplo):
  • Tome a_1=1 e r=-1. A PG é 1,-1,1,-1,\ldots. Observe que a_2=-1<1 (queda), mas a_3=1>-1 (aumenta). Portanto a sequência não é decrescente.
    Outro exemplo: a_1=2, r=-0{,}5 gera 2,-1,0{,}5,-0{,}25,\ldots que não é monotonicamente decrescente (os termos sobem e descem alternadamente).
Conclusão: o fato de r ser negativo não garante que a PG seja decrescente; na verdade, com r<0 normalmente há alternância de sinais e não há monotonicidade estrita. Portanto a afirmação 1 é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação 2: “O vigésimo termo da sequência (-8,-3,2,7,\ldots) é 87.”
Primeiro identifique o tipo de sequência. Observa-se que os incrementos são:
  • -3 - (-8) = 5,
  • 2 - (-3) = 5,
  • 7 - 2 = 5.
    Logo é uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a_1=-8 e razão d=5.
Fórmula do termo geral de uma PA:
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde a_1 é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição do termo.
Aplicando para n=20:
a_{20} = a_1 + (20-1)d = -8 + 19\cdot 5.
Calcule 19\cdot 5 = 95. Então
a_{20} = -8 + 95 = 87.
Portanto a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética.”
Vamos estudar quando isto ocorre. Considere três termos consecutivos a_1,a_2,a_3 que formam ao mesmo tempo uma PA e uma PG.
  • Se são PA, vale
a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}.
  • Se são PG, vale
a_2^2 = a_1 a_3.
Substituindo a_3 da relação da PA (ou eliminando entre as duas equações) faz-se a combinação direta. Usando a_3 = 2a_2 - a_1 (da PA) na relação da PG:
a_2^2 = a_1(2a_2 - a_1) = 2a_1 a_2 - a_1^2.
Reescrevendo:
a_2^2 - 2a_1 a_2 + a_1^2 = 0.
O lado esquerdo é um quadrado:
(a_2 - a_1)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = a_1.
Se a_2=a_1, então a_3 = 2a_2 - a_1 = a_1. Portanto a_1=a_2=a_3. Pelo mesmo argumento (estendendo pela recursão), todos os termos são iguais: a sequência é constante.
Conclusão: a única sequência (não degenerada) que é simultaneamente PA e PG é a sequência constante (por exemplo 1,1,1,\ldots ou 0,0,0,\ldots). Logo é possível que uma sequência seja ambas, desde que seja constante. Portanto a afirmação 3 é verdadeira (com a ressalva: as sequências constantes).

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “Se a sequência (\sqrt{2},2,x) é uma progressão geométrica, então x=\sqrt{2}.”
Para três termos consecutivos a,b,c em PG vale a relação b^2 = a c. Aqui a=\sqrt{2}, b=2, c=x. Então:
2^2 = (\sqrt{2})\cdot x \quad\Rightarrow\quad 4 = \sqrt{2}\,x.
Isolando x:
x = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.
Portanto x=2\sqrt{2}, e não \sqrt{2}. A afirmação 4 é falsa.
Observação alternativa: a razão da PG seria r = \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, então x=2r=2\sqrt{2}, mesma conclusão.

Passo 6

Analisando a afirmação 5: “A soma dos termos da progressão aritmética \bigl(a_{1},a_{2},12,a_{4},\ldots,a_{97},116,a_{99},a_{100}\bigr) é 6400.”
Interpretação dos dados: o terceiro termo é a_3=12 (pois aparecem a_1,a_2,12=a_3,\ldots) e o termo 116 aparece depois de a_{97}, ou seja é a_{98}=116. Então temos em uma PA:
a_3 = a_1 + 2d = 12, \qquad a_{98} = a_1 + 97d = 116,
onde d é a razão.
Subtraindo as duas equações para eliminar a_1:
(a_1+97d) - (a_1+2d) = 95d = 116 - 12 = 104.
Logo
d = \frac{104}{95}.
Agora temos a_1 por exemplo a partir de a_3:
a_1 = a_3 - 2d = 12 - 2\cdot\frac{104}{95} = 12 - \frac{208}{95} = \frac{1140-208}{95} = \frac{932}{95}.
Queremos a soma dos 100 primeiros termos (pois a sequência indicou até a_{100}). Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr).
Aqui n=100, então
S_{100} = 50\bigl(a_1 + a_{100}\bigr).
Primeiro calcule a_{100} = a_1 + 99d. Em vez de calcular numericamente cada valor, é prático somar a_1 + a_{100} = a_1 + (a_1+99d) = 2a_1 + 99d. Use as expressões que temos em frações com denominador 95:
2a_1 + 99d = 2\cdot\frac{932}{95} + 99\cdot\frac{104}{95} = \frac{2\cdot 932 + 99\cdot 104}{95}.
Calcule os numeradores:
2\cdot 932 = 1864,\qquad 99\cdot 104 = 10296.
Soma: 1864 + 10296 = 12160. Portanto
a_1 + a_{100} = \frac{12160}{95}.
Agora a soma:
S_{100} = 50\cdot \frac{12160}{95}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 5:
\frac{12160}{95} = \frac{2432}{19},
então
S_{100} = 50\cdot\frac{2432}{19} = \frac{121600}{19}.
Mas observe que 19\cdot 6400 = 121600. Portanto
S_{100} = \frac{121600}{19} = 6400.
Logo a soma é exatamente 6400. A afirmação 5 é verdadeira.

Resposta

Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro

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