(UFAL) As afirmações seguintes referem-se a progressões geométricas e/ou aritméticas.
( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.
( ) O vigésimo termo da sequência (
) é 87.
( ) Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética. ( ) Se a sequência (
) é uma progressão geométrica, então
.
( ) A soma dos termos da progressão aritmética
é 6400.
( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.
( ) O vigésimo termo da sequência (
( ) Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética. ( ) Se a sequência (
( ) A soma dos termos da progressão aritmética
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede. Temos cinco afirmações que precisamos classificar como verdadeiras ou falsas. As afirmações são:
- ( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.
- ( ) O vigésimo termo da sequência
é . - ( ) Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética.
- ( ) Se a sequência
é uma progressão geométrica, então . - ( ) A soma dos termos da progressão aritmética
é .
O que se pede: analisar cada afirmação e decidir se é verdadeira ou falsa, justificando passo a passo.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.”
Primeiro, lembrar a definição de progressão geométrica (PG) e de sequência decrescente.
- Uma sequência
é uma PG se existe tal que, para todo , . Aqui é a razão. - Uma sequência é decrescente (estritamente decrescente) se, para todo
, .
Agora, suponha que
. Isso faz com que os sinais dos termos alternem (positivo, negativo, positivo, …). Para ser decrescente precisamos que TODOS os pares consecutivos satisfaçam
. Mas se os sinais alternam, não é possível que isso ocorra para todos os
. Exemplo prático (contracexemplo):
- Tome
e . A PG é . Observe que (queda), mas (aumenta). Portanto a sequência não é decrescente.
Outro exemplo:, gera que não é monotonicamente decrescente (os termos sobem e descem alternadamente).
Conclusão: o fato de
ser negativo não garante que a PG seja decrescente; na verdade, com
normalmente há alternância de sinais e não há monotonicidade estrita. Portanto a afirmação 1 é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “O vigésimo termo da sequência
é
.”
Primeiro identifique o tipo de sequência. Observa-se que os incrementos são:
-
, -
, -
.
Logo é uma progressão aritmética (PA) com primeiro termoe razão .
Fórmula do termo geral de uma PA:
onde
é o primeiro termo,
é a razão e
é a posição do termo.
Aplicando para
:
Calcule
. Então
Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “Uma sequência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética.”
Vamos estudar quando isto ocorre. Considere três termos consecutivos
que formam ao mesmo tempo uma PA e uma PG.
- Se são PA, vale
- Se são PG, vale
Substituindo
da relação da PA (ou eliminando entre as duas equações) faz-se a combinação direta. Usando
(da PA) na relação da PG:
Reescrevendo:
O lado esquerdo é um quadrado:
Se
, então
. Portanto
. Pelo mesmo argumento (estendendo pela recursão), todos os termos são iguais: a sequência é constante.
Conclusão: a única sequência (não degenerada) que é simultaneamente PA e PG é a sequência constante (por exemplo
ou
). Logo é possível que uma sequência seja ambas, desde que seja constante. Portanto a afirmação 3 é verdadeira (com a ressalva: as sequências constantes).
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “Se a sequência
é uma progressão geométrica, então
.”
Para três termos consecutivos
em PG vale a relação
. Aqui
,
,
. Então:
Isolando
:
Portanto
, e não
. A afirmação 4 é falsa.
Observação alternativa: a razão da PG seria
, então
, mesma conclusão.
Passo 6
Analisando a afirmação 5: “A soma dos termos da progressão aritmética
é
.”
Interpretação dos dados: o terceiro termo é
(pois aparecem
) e o termo
aparece depois de
, ou seja é
. Então temos em uma PA:
onde
é a razão.
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Logo
Agora temos
por exemplo a partir de
:
Queremos a soma dos
primeiros termos (pois a sequência indicou até
). Fórmula da soma dos
primeiros termos de uma PA:
Aqui
, então
Primeiro calcule
. Em vez de calcular numericamente cada valor, é prático somar
. Use as expressões que temos em frações com denominador
:
Calcule os numeradores:
Soma:
. Portanto
Agora a soma:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
então
Mas observe que
. Portanto
Logo a soma é exatamente
. A afirmação 5 é verdadeira.
Resposta
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro