(UFAL) Em uma cultura de bactérias, o número de microorganismos duplica a cada 20 minutos. Iniciando-se com uma população de 100 bactérias, o tempo
necessário para se alcançar uma população de 5.000 bactérias é tal que
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação inicial: começa-se com
bactérias. - A cada
minutos a população duplica (ou seja, dobra). - Objetivo: encontrar o tempo
necessário para que a população alcance bactérias. - O enunciado pede em qual intervalo dentre as alternativas o tempo
se encontra: - (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (a)
Passo 2
Modelagem do crescimento (aula rápida e prática).
Quando uma população dobra a cada intervalo fixo de tempo, podemos modelar por uma função exponencial de base
. A fórmula geral é
onde:
-
é o número de bactérias no tempo (em minutos, se for em minutos); -
é a população inicial; -
é o tempo de duplicação (doubling time); -
é o tempo decorrido (mesma unidade de ).
Aqui temos
e
. Então a fórmula específica é
Explicação curta: a cada
minutos multiplica-se por
. Se passar
minutos, passam-se
duplicações, por isso a potência
.
Passo 3
Colocar a condição
e montar a equação a resolver.
Queremos
tal que
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Resolver para
usando logaritmos (mini-aula sobre logaritmos).
Para isolar o expoente de uma potência de base
, aplicamos logaritmo na mesma base ou logaritmo natural e usamos a troca de base. Usando logaritmo natural
:
Pela propriedade dos logaritmos
, temos
Isolando
:
Comentário didático:
, ou seja, quantas potências de
cabem em
. Como
e
, já sabemos que
está entre
e
.
Passo 5
Calcular numericamente
(aproximação prática).
Usando aproximações conhecidas:
Logo
Multiplicando por
:
Agora converto para horas e minutos:
. Portanto
Observação prática: sem calculadora dá para concluir que
está entre
(1 h 40 min) e
(2 h), porque já vimos que
está entre
e
, então
está entre
min e
min.
Passo 6
Comparar com as alternativas e escolher a correta.
Encontramos
, isto é
. Isso pertence ao intervalo
que é a alternativa (b).
Resposta
b)