(UFAL) Em uma cultura de bactérias, o número de microorganismos duplica a cada 20 minutos. Iniciando-se com uma população de 100 bactérias, o tempo t necessário para se alcançar uma população de 5.000 bactérias é tal que
a) 1 h<t<1 h 40 \mathrm{~min}
b) 1 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}<t<2 \mathrm{~h}
c) 2 h<t<2 h 30 \mathrm{~min}
d) 2 h 30 \mathrm{~min}<t<2 h 50 \mathrm{~min}
e) 2 h 50 \min <t<h

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação inicial: começa-se com 100 bactérias.
  • A cada 20 minutos a população duplica (ou seja, dobra).
  • Objetivo: encontrar o tempo t necessário para que a população alcance 5000 bactérias.
  • O enunciado pede em qual intervalo dentre as alternativas o tempo t se encontra:
    • (a) 1\\ \text{h}<t<1\\ \text{h }40\\ \text{min}
    • (b) 1\\ \text{h }40\\ \text{min}<t<2\\ \text{h}
    • (c) 2\\ \text{h}<t<2\\ \text{h }30\\ \text{min}
    • (d) 2\\ \text{h }30\\ \text{min}<t<2\\ \text{h }50\\ \text{min}
    • (e) 2\\ \text{h }50\\ \text{min}<t<3\\ \text{h}

Passo 2

Modelagem do crescimento (aula rápida e prática).
Quando uma população dobra a cada intervalo fixo de tempo, podemos modelar por uma função exponencial de base 2. A fórmula geral é
N(t)=N_0\cdot 2^{t/T},
onde:
  • N(t) é o número de bactérias no tempo t (em minutos, se T for em minutos);
  • N_0 é a população inicial;
  • T é o tempo de duplicação (doubling time);
  • t é o tempo decorrido (mesma unidade de T).
Aqui temos N_0=100 e T=20\\ \text{min}. Então a fórmula específica é
N(t)=100\cdot 2^{t/20}.
Explicação curta: a cada 20 minutos multiplica-se por 2. Se passar t minutos, passam-se t/20 duplicações, por isso a potência 2^{t/20}.

Passo 3

Colocar a condição N(t)=5000 e montar a equação a resolver.
Queremos t tal que
100\cdot 2^{t/20}=5000.
Dividindo ambos os lados por 100 obtemos
2^{t/20}=50.

Passo 4

Resolver para t usando logaritmos (mini-aula sobre logaritmos).
Para isolar o expoente de uma potência de base 2, aplicamos logaritmo na mesma base ou logaritmo natural e usamos a troca de base. Usando logaritmo natural \ln:
\ln\!\left(2^{t/20}\right)=\ln(50).
Pela propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln a, temos
\frac{t}{20}\ln 2=\ln 50.
Isolando t:
t=20\cdot\frac{\ln 50}{\ln 2}.
Comentário didático: \dfrac{\ln 50}{\ln 2}=\log_2 50, ou seja, quantas potências de 2 cabem em 50. Como 2^5=32 e 2^6=64, já sabemos que \log_2 50 está entre 5 e 6.

Passo 5

Calcular numericamente t (aproximação prática).
Usando aproximações conhecidas:
\ln 50\approx 3,912023,\qquad \ln 2\approx 0,693147.
Logo
\frac{\ln 50}{\ln 2}\approx \frac{3,912023}{0,693147}\approx 5,643856.
Multiplicando por 20:
t\approx 20\cdot 5,643856\approx 112,87712\\ \text{min}.
Agora converto para horas e minutos: 112,87712\\ \text{min}=60\\ \text{min}+52,87712\\ \text{min}. Portanto
t\approx 1\\ \text{h }52,88\\ \text{min}.
Observação prática: sem calculadora dá para concluir que t está entre 100\\ \text{min} (1 h 40 min) e 120\\ \text{min} (2 h), porque já vimos que \log_2 50 está entre 5 e 6, então t está entre 20\cdot5=100 min e 20\cdot6=120 min.

Passo 6

Comparar com as alternativas e escolher a correta.
Encontramos t\approx 112,88\\ \text{min}, isto é 1\\ \text{h }52,88\\ \text{min}. Isso pertence ao intervalo
1\\ \text{h }40\\ \text{min}<t<2\\ \text{h},
que é a alternativa (b).

Resposta

b)

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