(Ufla-MG) Um corpo está submerso em um liquido em equilibrio a uma profundidade de 8,0 \mathrm{~m}, à pressão uniforme e igual a 3,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Sendo a pressão na superficie do líquido igual a 1,0 atmosfera, qual a densidade do liquido? Considere 1 \mathrm{~atm}=1,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) 2,5 \cdot 10^{3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
b) 5,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
c) 6,75 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
d) 2,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Profundidade do corpo: h=8,0\\ \mathrm{m}.
  • Pressão no ponto submerso (pressão total a essa profundidade): p_{\text{profundo}}=3,0\cdot10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • Pressão na superfície do líquido: p_{\text{superfície}}=1,0\cdot10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}í (1,0 atm).
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Pergunta: qual é a densidade do líquido? (As alternativas estão em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.)

Passo 2

Apresentar a relação física que liga essas quantidades (sem pular etapas) e explicar cada termo.
A pressão total a uma certa profundidade num líquido em equilíbrio é a soma da pressão na superfície com a pressão devido ao peso da coluna de líquido acima do ponto. A fórmula é:
p_{\text{profundo}} = p_{\text{superfície}} + \rho\,g\,hí
Explicando cada símbolo:
  • p_{\text{profundo}} é a pressão medida no ponto a profundidade h.
  • p_{\text{superfície}}í é a pressão na superfície do líquido.
  • \rho é a densidade do líquido (o que queremos).
  • g é a aceleração da gravidade.
  • h é a profundidade vertical entre a superfície e o ponto considerado.
Essa fórmula vem da ideia de que uma fatia fina de líquido de área A e espessura h tem massa m=\rho A h; o peso é m g=\rho A h g e a pressão adicional é esse peso dividido pela área A, resultando em \Delta p=\rho g h.

Passo 3

Isolar \rho na fórmula e calcular o acréscimo de pressão \Delta p.
Da fórmula anterior:
\rho = \frac{p_{\text{profundo}} - p_{\text{superfície}}}{g\,h}.í
Definindo \Delta p = p_{\text{profundo}} - p_{\text{superfície}}í, temos \rho=\dfrac{\Delta p}{g h}.
Calculemos \Delta p com os números dados (peguei esses números do enunciado):
\Delta p = 3,0\cdot10^{5} - 1,0\cdot10^{5} = 2,0\cdot10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Substituir valores e realizar as contas com unidades, passo a passo.
Substituindo em \rho=\dfrac{\Delta p}{g h}:
\rho = \frac{2,0\cdot10^{5}}{10\cdot 8,0}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Calcule o denominador:
10\cdot 8,0 = 80.
Agora a divisão:
\rho = \frac{2,0\cdot10^{5}}{80} = 2,5\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Expliquei cada passo para que dê para fazer à mão na prova: subtraiu-se as pressões para achar o acréscimo devido ao líquido, dividiu-se por g h.

Passo 5

Converter a densidade para as unidades das alternativas ( \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}) e escolher a alternativa correta.
Relação de unidades: 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 10^{-3}\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}. Portanto
\rho = 2,5\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2,5\cdot10^{3}\times10^{-3}\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} = 2,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa d).
Pequena dica rápida para a prova: sempre calcule primeiro \Delta p, depois divida por g h; a conversão final para \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 é só dividir por 1000.

Resposta

d) 2,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}

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