(Ufpe 2005) É impossível para uma pessoa respirar se a diferença de pressão entre o meio externo e o ar dentro dos pulmões for maior do que 0,05 \mathrm{~atm}. Calcule a profundidade máxima, h, dentro d’água, em cm , na qual um mergulhador pode respirar por meio de um tubo, cuja extremidade superior é mantida fora da água.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade máxima h (em cm) em que um mergulhador consegue respirar por um tubo cuja extremidade superior fica fora d’água, sabendo que é impossível respirar se a diferença de pressão entre o meio externo (a água ao redor do corpo) e o ar dentro dos pulmões for maior que 0{,}05\\ \text{atm}.
Informações dadas e adotadas (peguei a definição de h da imagem):
  • Diferença de pressão máxima permitida: \Delta P_{\max}=0{,}05\\ \text{atm}.
  • Pressão atmosférica padrão: 1\\ \text{atm}=101325\\ \text{Pa}.
  • Densidade da água doce (adotada): \rho=1000\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}.
  • Aceleração da gravidade (adotada): g=9{,}8\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
  • A imagem mostra o mergulhador horizontal, o tubo vertical ligado ao ar livre, e h marcado como a distância vertical entre a superfície da água e a boca do mergulhador (peguei isso da imagem).
  • O que é pedido: calcular h em centímetros.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (aulas rápidas e necessárias, sem pular etapas):
Quando a boca do mergulhador está a uma profundidade h abaixo da superfície, a pressão exercida pela água sobre o corpo (pressão externa) é maior que a pressão atmosférica pela mesma quantidade que corresponde ao peso da coluna de água acima, isto é:
P_{\text{externa}} = P_{\text{atm}} + \rho g h.
O ar que chega pela extremidade do tubo (aberta para a atmosfera) tem pressão igual à pressão atmosférica:
P_{\text{pulmões}}\approx P_{\text{atm}}.õ
Portanto, a diferença de pressão entre o meio externo (água) e o ar nos pulmões é
\Delta P = P_{\text{externa}}-P_{\text{pulmões}} = \rho g h.õ
Explicando as variáveis:
  • \rho é a densidade do fluido (água), em \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}.
  • g é a aceleração da gravidade, em \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
  • h é a profundidade vertical em metros.
  • \Delta P é a diferença de pressão em pascals ( \text{Pa}), lembrando que 1\\ \text{Pa}=1\\ \text{N}\cdot\text{m}^{-2}.
Então, para respirar pelo tubo sem ultrapassar o limite, é necessário
\rho g h \le \Delta P_{\max}.

Passo 3

Converter \Delta P_{\max} de atmosferas para pascals (porque \rho g h fica em pascals):
\Delta P_{\max}=0{,}05\\ \text{atm} = 0{,}05\times101325\\ \text{Pa} = 5066{,}25\\ \text{Pa}.

Passo 4

Isolando h na desigualdade (ou para o máximo permitido, faz-se igualdade):
h = \frac{\Delta P_{\max}}{\rho g}.
Substituindo os valores numéricos:
h = \frac{5066{,}25}{1000\times9{,}8}\\ \text{m}.

Passo 5

Calcule o valor numérico (desenvolvendo as contas passo a passo):
1000\times9{,}8 = 9800.
h = \frac{5066{,}25}{9800}\\ \text{m} \approx 0{,}5169643\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros ( 1\\ \text{m}=100\\ \text{cm}):
h \approx 0{,}5169643\times100\\ \text{cm} \approx 51{,}69643\\ \text{cm}.
Arredondando com razoável precisão: h\approx51{,}7\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: o resultado mostra que com um snorkel simples a gente só consegue respirar confortavelmente até pouco mais de meio metro de profundidade — por isso não adianta um tubo longo: a pressão da água fica muito grande e você não consegue expandir os pulmões para vencer essa pressão. Fica tranquilo: agora você sabe exatamente de onde vem esse limite!

Resposta

h \approx 51{,}7\\ \text{cm}

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