(UFRJ) A sequência (
) é uma Progressão Geométrica. Então, o produto de
por
vale:
a) 36
b) 72
c) 108
d) 144
e) 180
a) 36
b) 72
c) 108
d) 144
e) 180
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A sequência dada é
. - O enunciado afirma que essa sequência é uma Progressão Geométrica.
- O que se pede: o valor do produto
. - Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos de ordem 2 e 5 valem
e , respectivamente, e os termos estão igualmente espaçados numa PG de 5 termos.
Passo 2
Relembrando o conceito de Progressão Geométrica (PG) de forma didática e simples.
- Uma sequência
é uma PG quando existe uma razão comum tal que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por . - A fórmula geral para o
-ésimo termo é
onde
é o primeiro termo e
é a razão da PG.
- Exemplo rápido e intuitivo: na PG
temos porque cada termo é vezes o anterior; e .
Passo 3
Aplicando a fórmula da PG aos termos dados para relacionar
,
,
,
e a razão
.
- Denotando a razão por
, os termos da sequência são:
- Uma relação direta útil entre
e (dois termos separados por três multiplicações por ) é
Aqui isso vira
Passo 4
Resolver a equação para
.
- A equação é
- Dividindo ambos os lados por
:
- Agora tiramos a raiz cúbica de ambos os lados. Como estamos em contexto de PG com termos reais, usamos a raiz cúbica real:
(Explicação curta:
, logo
.)
Passo 5
Encontrar
usando
.
- Temos
. Substituindo :
- Isolando
:
Passo 6
Encontrar
usando
ou
.
- Usando
com e :
- Conferindo com a outra expressão:
. Dá o mesmo valor.
Passo 7
Calcular o produto
.
- Substituindo
e :
Passo 8
Interpretação e verificação rápida (para ficar tranquilo na prova).
- Em qualquer PG de 5 termos, observe que
. Aqui e , consistente. Portanto o cálculo está correto.
Resposta
108