(UFRJ) A sequência ( x, 6, y, z, 162 ) é uma Progressão Geométrica. Então, o produto de x por z vale:
a) 36
b) 72
c) 108
d) 144
e) 180

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A sequência dada é (x,\,6,\,y,\,z,\,162).
  • O enunciado afirma que essa sequência é uma Progressão Geométrica.
  • O que se pede: o valor do produto x\cdot z.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos de ordem 2 e 5 valem 6 e 162, respectivamente, e os termos estão igualmente espaçados numa PG de 5 termos.

Passo 2

Relembrando o conceito de Progressão Geométrica (PG) de forma didática e simples.
  • Uma sequência (t_1, t_2, t_3, \dots) é uma PG quando existe uma razão comum r tal que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por r.
  • A fórmula geral para o n-ésimo termo é
t_n = t_1\, r^{\,n-1},
onde t_1 é o primeiro termo e r é a razão da PG.
  • Exemplo rápido e intuitivo: na PG (2,6,18) temos r=3 porque cada termo é 3 vezes o anterior; e t_3 = t_1 r^{2} = 2\cdot 3^2 = 18.

Passo 3

Aplicando a fórmula da PG aos termos dados para relacionar x, 6, z, 162 e a razão r.
  • Denotando a razão por r, os termos da sequência são:
t_1 = x,\qquad t_2 = x r = 6,\qquad t_3 = x r^{2} = y,\qquad t_4 = x r^{3} = z,\qquad t_5 = x r^{4} = 162.
  • Uma relação direta útil entre t_2 e t_5 (dois termos separados por três multiplicações por r) é
t_5 = t_2 \, r^{3}.
Aqui isso vira
162 = 6 \, r^{3}.

Passo 4

Resolver a equação para r.
  • A equação é
6\, r^{3} = 162.
  • Dividindo ambos os lados por 6:
r^{3} = \frac{162}{6} = 27.
  • Agora tiramos a raiz cúbica de ambos os lados. Como estamos em contexto de PG com termos reais, usamos a raiz cúbica real:
r = \sqrt[3]{27} = 3.
(Explicação curta: 3^{3}=27, logo r=3.)

Passo 5

Encontrar x usando t_2 = x r = 6.
  • Temos 6 = x r. Substituindo r=3:
6 = x\cdot 3.
  • Isolando x:
x = \frac{6}{3} = 2.

Passo 6

Encontrar z usando t_4 = x r^{3} ou t_4 = t_2 r^{2}.
  • Usando t_4 = t_2 r^{2} com t_2=6 e r=3:
z = 6 \cdot r^{2} = 6 \cdot 3^{2} = 6 \cdot 9 = 54.
  • Conferindo com a outra expressão: z = x r^{3} = 2\cdot 27 = 54. Dá o mesmo valor.

Passo 7

Calcular o produto x\cdot z.
  • Substituindo x=2 e z=54:
x\cdot z = 2 \cdot 54 = 108.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida (para ficar tranquilo na prova).
  • Em qualquer PG de 5 termos, observe que t_1 t_5 = t_2 t_4 = t_3^{2}. Aqui t_2 t_4 = 6\cdot 54 = 324 e t_1 t_5 = 2\cdot 162 = 324, consistente. Portanto o cálculo está correto.

Resposta

108

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