(UFSM) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é:
a) menor que 824
b) igual a 1030
c) maior que 1502
d) igual a 1024
e) igual a 1320

Passo 1

Vou listar de forma objetiva o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Observações semana a semana (peguei estes números do enunciado):
    • Na semana 1 adoeceram 1 árvore.
    • Na semana 2 adoeceram 2 árvores.
    • Na semana 3 adoeceram 4 árvores.
    • E assim por diante, até a semana 10.
  • Informação adicional do enunciado: após a décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto 7 árvores (ou seja, sobraram 7 árvores sadias).
  • O que o enunciado pede: determinar o número total de árvores da plantação (escolher qual alternativa é correta).

Passo 2

Identificar o padrão numérico e modelá‑lo matematicamente.
  • Observando os números 1,2,4,\dots, nota‑se que a cada semana o número de árvores doentes dobra. Isso é uma progressão geométrica com primeiro termo a=1 e razão r=2.
  • A definição da sequência é: o número de árvores que adoecem na semana n é a_n = a\,r^{\,n-1},onde:
    • a é o primeiro termo (aqui a=1),
    • r é a razão (aqui r=2),
    • n é o índice da semana ( n=1,2,\dots).

Passo 3

Calcular o total de árvores doentes acumuladas até a décima semana.
  • O total de árvores adoecidas nas 10 primeiras semanas é a soma dos primeiros 10 termos da progressão geométrica: S_{10}=\sum_{k=1}^{10} a_k=\sum_{k=1}^{10} 1\cdot 2^{\,k-1} .
  • Vou usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica. Para a e r com r\neq1, S_n = a\frac{r^{\,n}-1}{r-1}.Explicando a fórmula (rápido derivação): escrevendo S_n=a+a r+\dots+a r^{n-1} e multiplicando por r obtemos rS_n=a r+\dots+a r^n; subtraindo as duas igualdades cancela quase todos os termos e resulta (r-1)S_n=a(r^n-1), daí a fórmula acima. Aqui:
    • S_n é a soma dos n primeiros termos,
    • a é o primeiro termo,
    • r é a razão,
    • n é o número de termos.

Passo 4

Aplicar a fórmula com a=1, r=2, n=10 e realizar as contas passo a passo sem calculadora.
  • Substituindo: S_{10}=1\cdot\frac{2^{10}-1}{2-1}=\;2^{10}-1.
  • Calcular 2^{10} de forma elementar:
    • 2^5=32,
    • 2^{10}=(2^5)^2=32^2.
    • 32^2=(30+2)^2=900+120+4=1024.
  • Logo S_{10}=2^{10}-1=1024-1=1023.Isso significa que, até a décima semana, adoeceram 1023 árvores.

Passo 5

Determinar o número total de árvores da plantação somando as sadias.
  • O enunciado diz que, depois da décima semana, restaram 7 árvores sadias. Portanto o total de árvores é \text{Total} = S_{10} + 7 = 1023 + 7 = 1030.
  • Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa b).

Resposta

b) igual a 1030

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