(UFSM) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é:
a) menor que 824
b) igual a 1030
c) maior que 1502
d) igual a 1024
e) igual a 1320
a) menor que 824
b) igual a 1030
c) maior que 1502
d) igual a 1024
e) igual a 1320
Passo 1
Vou listar de forma objetiva o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Observações semana a semana (peguei estes números do enunciado):
- Na semana
adoeceram árvore. - Na semana
adoeceram árvores. - Na semana
adoeceram árvores. - E assim por diante, até a semana
.
- Na semana
- Informação adicional do enunciado: após a décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto
árvores (ou seja, sobraram árvores sadias). - O que o enunciado pede: determinar o número total de árvores da plantação (escolher qual alternativa é correta).
Passo 2
Identificar o padrão numérico e modelá‑lo matematicamente.
- Observando os números
, nota‑se que a cada semana o número de árvores doentes dobra. Isso é uma progressão geométrica com primeiro termo e razão . - A definição da sequência é: o número de árvores que adoecem na semana
é onde: -
é o primeiro termo (aqui ), -
é a razão (aqui ), -
é o índice da semana ( ).
-
Passo 3
Calcular o total de árvores doentes acumuladas até a décima semana.
- O total de árvores adoecidas nas
primeiras semanas é a soma dos primeiros termos da progressão geométrica: - Vou usar a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica. Para e com , Explicando a fórmula (rápido derivação): escrevendo e multiplicando por obtemos ; subtraindo as duas igualdades cancela quase todos os termos e resulta , daí a fórmula acima. Aqui: -
é a soma dos primeiros termos, -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é o número de termos.
-
Passo 4
Aplicar a fórmula com
,
,
e realizar as contas passo a passo sem calculadora.
- Substituindo:
- Calcular
de forma elementar: -
, -
. -
.
-
- Logo
Isso significa que, até a décima semana, adoeceram árvores.
Passo 5
Determinar o número total de árvores da plantação somando as sadias.
- O enunciado diz que, depois da décima semana, restaram
árvores sadias. Portanto o total de árvores é - Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa b).
Resposta
b) igual a