Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=2e^{-t}.
Informações dadas relevantes:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 2e^{-t}.
  • Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt}:
r^{2}+2r+1=0.
Resolvendo essa quadrática, notamos que
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2},
portanto a raiz é r=-1 de multiplicidade 2. Para uma raiz real r de multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}t)e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora a parte do método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito é 2e^{-t}, uma tentativa padrão seria assumir uma solução particular do tipo constante \times e^{-t}, isto é A e^{-t} . Porém atenção ao caso de ressonância: se e^{\alpha t} com \alpha=-1 é solução da homogênea, precisamos multiplicar a tentativa por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui \alpha=-1 é raiz de multiplicidade 2, então s=2. Logo a tentativa correta é multiplicar por t^{2}. Como o polinômio que multiplica e^{-t} no RHS tem grau 0 (é apenas uma constante 2), a forma tentativa é uma constante A vezes t^{2}e^{-t}:
y_{p}=A t^{2} e^{-t},
onde A é a constante indeterminada que vamos determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p} passo a passo (produto e regra da cadeia). Primeiro:
y_{p}=A t^{2} e^{-t}.
Derivando usando produto:
y_{p}^{\prime}=A\left(2t e^{-t}+t^{2}\cdot(-e^{-t})\right)=A e^{-t}(2t-t^{2}).
Agora derivamos y_{p}^{\prime}. Seja f(t)=e^{-t} e g(t)=2t-t^{2}. Temos f'(t)=-e^{-t} e g'(t)=2-2t. Então
y_{p}^{\prime\prime}=A\big(f'g+fg'\big)=A\big((-e^{-t})(2t-t^{2})+e^{-t}(2-2t)\big).
Fatorando e^{-t} e simplificando:
y_{p}^{\prime\prime}=A e^{-t}\big(-2t+t^{2}+2-2t\big)=A e^{-t}\big(t^{2}-4t+2\big).

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial para determinar A:
y_{p}^{\prime\prime}+2y_{p}^{\prime}+y_{p} = A e^{-t}\big(t^{2}-4t+2\big) +2A e^{-t}\big(2t-t^{2}\big) +A t^{2} e^{-t}.
Colocando tudo com o fator comum A e^{-t} e somando termos:
A e^{-t}\big(t^{2}-4t+2 +4t-2t^{2}+t^{2}\big) = A e^{-t}\big(2\big).
Ou seja
y_{p}^{\prime\prime}+2y_{p}^{\prime}+y_{p}=2A e^{-t}.
Igualando ao lado direito da equação original 2e^{-t}, obtemos
2A e^{-t}=2 e^{-t}\quad\Rightarrow\quad 2A=2\quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto a solução particular é
y_{p}=t^{2} e^{-t}.

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y=y_{h}+y_{p}=(C_{1}+C_{2}t)e^{-t}+t^{2}e^{-t}.
Podemos fatorar e^{-t} para escrever de forma compacta:
y=e^{-t}\big(C_{1}+C_{2}t+t^{2}\big).
Boa — a parte chata das contas terminou! Se quiser, eu repito o processo com outro exemplo rápido pra fixar a ideia de multiplicar por t^{s}.

Resposta

y=e^{-t}\big(C_{1}+C_{2}t+t^{2}\big)

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