Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
Informações dadas relevantes:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa quadrática, notamos que
portanto a raiz é
de multiplicidade
. Para uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora a parte do método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito é
, uma tentativa padrão seria assumir uma solução particular do tipo
constante
, isto é
A e^{-t}
. Porém atenção ao caso de ressonância: se
com
é solução da homogênea, precisamos multiplicar a tentativa por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui
é raiz de multiplicidade
, então
. Logo a tentativa correta é multiplicar por
. Como o polinômio que multiplica
no RHS tem grau
(é apenas uma constante
), a forma tentativa é uma constante
vezes
:
onde
é a constante indeterminada que vamos determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
passo a passo (produto e regra da cadeia). Primeiro:
Derivando usando produto:
Agora derivamos
. Seja
e
. Temos
e
. Então
Fatorando
e simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial para determinar
:
Colocando tudo com o fator comum
e somando termos:
Ou seja
Igualando ao lado direito da equação original
, obtemos
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
para escrever de forma compacta:
Boa — a parte chata das contas terminou! Se quiser, eu repito o processo com outro exemplo rápido pra fixar a ideia de multiplicar por
.