Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(t) é igual a:
f(t)=\frac{t . e^{2 t}}{\ln (3 t+1)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t) = \frac{t\,e^{2t}}{\ln(3t+1)}
para o que vamos precisar da regra do quociente, da regra do produto e da regra da cadeia (para e^{2t} e \ln(3t+1)).

Passo 2

Calcular a derivada do numerador
u(t) = t\,e^{2t}.
Pela regra do produto,
u'(t) = 1\cdot e^{2t} + t\cdot\bigl(e^{2t}\cdot2\bigr) = e^{2t} + 2t\,e^{2t} = e^{2t}(1+2t).

Passo 3

Calcular a derivada do denominador
v(t) = \ln(3t+1).
Pela regra da cadeia,
v'(t) = \frac{1}{3t+1}\cdot3 = \frac{3}{3t+1}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente
f'(t) = \frac{u'(t)\,v(t) - u(t)\,v'(t)}{\bigl[v(t)\bigr]^2}.
Substituindo u,\;u',\;v,\;v':
f'(t) = \frac{e^{2t}(1+2t)\,\ln(3t+1) \;-\; t\,e^{2t}\,\frac{3}{3t+1}} {\bigl[\ln(3t+1)\bigr]^2} = \frac{e^{2t}\Bigl[(1+2t)\,\ln(3t+1) - \dfrac{3t}{3t+1}\Bigr]} {\bigl[\ln(3t+1)\bigr]^2}.

Resposta

f'(t) = \frac{e^{2t}\bigl[(1+2t)\,\ln(3t+1)-\frac{3t}{3t+1}\bigr]} {\bigl[\ln(3t+1)\bigr]^2}.

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