Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}
usando a regra da cadeia. O conteúdo principal é derivar uma composição de funções: a função externa é a raiz quadrada e a interna é x^2+e^{\sqrt{x}}.

Passo 2

Definimos duas funções para aplicar a regra da cadeia:
h(u)=\sqrt{u},\quad g(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}.
Sabemos que
h'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x) =\frac{1}{2\sqrt{\,g(x)\,}}\;g'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\;g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Temos
g(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}.
A derivada de x^2 é 2x. Para derivar e^{\sqrt{x}}, usamos cadeia de novo: se u(x)=\sqrt{x}, então \frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u' e
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} \quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto,
\frac{d}{dx}e^{\sqrt{x}} =e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
Somando as duas partes,
g'(x)=2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}} \Bigl(2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\Bigr).
Podemos escrever de forma mais enxuta colocando tudo sobre um único denominador:
2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}},
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f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}} \cdot\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

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