Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\log _{2}(3 x-\cos 2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{2}\bigl(3x-\cos(2x)\bigr)
Aplicaremos a regra da cadeia e a fórmula da derivada do logaritmo em base 2, sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl[\log_{2}u(x)\bigr] =\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(2)}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=3x-\cos(2x).
Então podemos escrever
f(x)=\frac{\ln\bigl(u(x)\bigr)}{\ln(2)},
o que deixa clara a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3 \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x)\bigr]=-2\sin(2x),
temos
u'(x)=3 - \bigl(-2\sin(2x)\bigr)=3+2\sin(2x).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo em base 2:
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(2)} =\frac{3+2\sin(2x)}{\bigl(3x-\cos(2x)\bigr)\,\ln(2)}.

Resposta

f'(x) =\frac{3+2\sin(2x)}{\bigl(3x-\cos(2x)\bigr)\,\ln(2)}.

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