Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\frac{a^{3 x}}{b^{3 x^{2}-6 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}},
o que envolve diferenciação de exponenciais e aplicação da regra da cadeia. Para simplificar, vamos usar a técnica de diferenciação via logaritmo.

Passo 2

Para usar log-diferenciação, escrevemos f(x) como exponencial de uma função g(x):
f(x)=e^{g(x)},
onde
g(x)=\ln\bigl(a^{3x}\bigr)-\ln\bigl(b^{3x^{2}-6x}\bigr)=3x\ln a-(3x^{2}-6x)\ln b.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de g(x) usando regra da cadeia em cada termo:
g'(x)=3\ln a-\bigl(6x-6\bigr)\ln b.

Passo 4

Como f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x) e e^{g(x)}=f(x), temos
f'(x)=f(x)\,g'(x) =\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}\bigl[3\ln a-(6x-6)\ln b\bigr].

Resposta

f'(x) =\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}\Bigl(3\ln a-(6x-6)\ln b\Bigr).

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