Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=2 x \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 2x \cos\bigl(x^2\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto (porque temos duas funções multiplicadas) e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar \cos(x^2).

Passo 2

Separemos f(x) em
u(x) = 2x \quad\text{e}\quad v(x) = \cos\bigl(x^2\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro u'(x) e v'(x).
Como u(x)=2x, temos
u'(x) = 2.
Para v(x)=\cos\bigl(x^2\bigr) usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(w) é -\sin(w)\cdot w', com w(x)=x^2 e w'(x)=2x. Logo,
v'(x) = -\sin\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x = -2x\,\sin\bigl(x^2\bigr).

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)
obtemos
f'(x) = 2\.\cos\bigl(x^2\bigr) + (2x)\bigl(-2x\,\sin(x^2)\bigr)
e, organizando termos,
f'(x) = 2\cos\bigl(x^2\bigr) - 4x^2\sin\bigl(x^2\bigr).

Resposta

f'(x) = 2\cos\bigl(x^2\bigr) - 4x^2\sin\bigl(x^2\bigr).

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