Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\frac{\operatorname{sec} 2 x}{1+\operatorname{tg} 2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sec}(2x)}{1+\tan(2x)}.
O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas e regra da cadeia. Para simplificar o cálculo, vamos reescrever f(x) numa forma mais direta antes de aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\frac{\operatorname{sec}(2x)}{1+\tan(2x)} =\frac{\frac{1}{\cos(2x)}}{1+\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} =\frac{1}{\cos(2x)+\sin(2x)}.
Então definimos
h(x)=\cos(2x)+\sin(2x),
de modo que
f(x)=\bigl(h(x)\bigr)^{-1}.

Passo 3

Para derivar f(x)=h(x)^{-1} usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia:
f'(x) = -1\cdot h(x)^{-2}\cdot h'(x) = -\frac{h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos h'(x). Como
h(x)=\cos(2x)+\sin(2x),
temos
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x)\bigr]=-2\sin(2x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl[\sin(2x)\bigr]=2\cos(2x).
Logo,
h'(x) = -2\sin(2x) + 2\cos(2x).

Passo 5

Substituindo h(x) e h'(x) em f'(x):
f'(x) = -\frac{-2\sin(2x)+2\cos(2x)}{\bigl(\cos(2x)+\sin(2x)\bigr)^{2}} = \frac{2\sin(2x)-2\cos(2x)}{\bigl(\cos(2x)+\sin(2x)\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{2\bigl(\sin(2x)-\cos(2x)\bigr)}{\bigl(\cos(2x)+\sin(2x)\bigr)^{2}}.

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