Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{sec} ^{2}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(x^2+1\bigr)
e pede a derivada f'(x). O conteúdo aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: primeiro a função interna u(x)=x^2+1 e depois a função externa h(u)=\operatorname{sec}^2(u).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2+1
e
h(u)=\operatorname{sec}^2(u).
Dessa forma f(x)=h\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2+1\bigr)=2x.

Passo 4

Calculamos a derivada da função externa em termos de u. Primeiro lembramos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec}(u)\bigr)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Então, usando a regra da cadeia em h(u)=(\operatorname{sec}(u))^2, temos
h'(u)=\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}^2(u)\bigr] =2\,\operatorname{sec}(u)\cdot\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr] =2\,\operatorname{sec}(u)\bigl[\operatorname{sec}(u)\tan(u)\bigr] =2\,\operatorname{sec}^2(u)\,\tan(u).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=h(u(x)):
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =2\,\operatorname{sec}^2\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\;\times\;2x.
Substituindo u(x)=x^2+1, obtemos
f'(x)=4x\;\operatorname{sec}^2\bigl(x^2+1\bigr)\;\tan\bigl(x^2+1\bigr).

Resposta

f'(x)=4x\;\operatorname{sec}^2\bigl(x^2+1\bigr)\;\tan\bigl(x^2+1\bigr).

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