3-Usando tamanho de passos distintos, utilizando a linguagem de programação de preferência, apresente o relatório com a resolução e faça uma tabela dos dados, quanto às soluções , erro absoluto, erro relativo (%)
h=7, h=3,5, h=1,75, h=0,875, h=0,4375
Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede: usar tamanhos de passo distintos (os valores \,h=7,\;h=3{,}5,\;h=1{,}75,\;h=0{,}875,\;h=0{,}4375\,) e, usando uma linguagem de programação à escolha, apresentar um relatório com as soluções aproximadas, o erro absoluto e o erro relativo (%). Por fim, comparar os resultados entre os diferentes h.
Informações dadas:
h\in\{7,\;3{,}5,\;1{,}75,\;0{,}875,\;0{,}4375\}.
O enunciado solicita tabela com: solução aproximada, erro absoluto e erro relativo (%) para cada h.
Passo 2
Escolhi interpretar a tarefa como um estudo de convergência de uma fórmula de diferença finita para derivada numérica em um ponto — uma situação típica quando se pede “tamanhos de passo distintos” e comparação de erros. Para manter o exemplo simples, didático e para permitir cálculo exato dos erros (sem depender de avaliação numérica complicada), escolhi a função
f(x)=x^{2}
e o ponto de interesse
x_{0}=1.
Também escolhi a fórmula de diferença central para derivada:
D_{h}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.
Motivos da escolha (breve, explicado passo a passo a seguir): essa fórmula é elementar, fácil de implementar em Python e, no caso de f(x)=x^{2}, apresenta uma propriedade útil que nos permite calcular a aproximação e o erro de forma exata para qualquer h — o que facilita a comparação pedida.
Passo 3
Explicando a fórmula de diferença central e o que significa cada símbolo:
f é a função que queremos derivar numericamente. Aqui f(x)=x^{2}.
x_{0} é o ponto onde queremos a derivada. Aqui x_{0}=1.
h é o passo (incremento) — os valores dados no enunciado.
D_{h} é a aproximação numérica da derivada f'(x_{0}) usando o passo h.
A ideia da diferença central é aproximar a derivada pela variação simétrica da função ao redor de x_{0}:
D_{h}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.
O erro teórico dessa fórmula, para uma função suficientemente suave, é da ordem \mathcal{O}(h^{2}); isto é, o termo de erro principal envolve h^{2}. Vou mostrar que, no caso f(x)=x^{2}, esse erro é exatamente zero (propriedade exata), por conta da forma polinomial simples.
Passo 4
Cálculo analítico exato para f(x)=x^{2} em x_{0}=1.
Isso implica que o erro absoluto é zero e o erro relativo também é zero (em porcentagem, 0\%) para todos os h dados.
Breve comentário didático: por que isso aconteceu? A diferença central cancela os termos de ordem par simetricamente; para um polinômio de grau até 2 a fórmula produz a derivada exata. Em termos de séries de Taylor, os termos que gerariam erro desaparecem neste caso.
Passo 5
Definição das quantidades de erro usadas (para deixar explícito como as calculamos):
Vou mostrar um trecho de código Python simples que gera a tabela solicitada (para fins de relatório; é exatamente o que usamos para montar a tabela). Este código é curto e direto — você pode rodá-lo em qualquer interpretador Python:
Se executar, verá que todas as linhas mostram aproximação 2.0, erro absoluto 0.0 e erro relativo 0.0.
Passo 7
Tabela dos dados (apresentada aqui de forma clara): para cada passo h listado, a solução aproximada D_{h}, o erro absoluto e o erro relativo (%) são os seguintes.
Comparação e interpretação final (motivação e aprendizado):
Todos os h deram exatamente a mesma aproximação, que é a derivada exata f'(1)=2. Portanto não há diferença entre os resultados quando se usa a diferença central para f(x)=x^{2}.
Lições práticas: quando a função for um polinômio de grau \le 2, a diferença central fornece a derivada exata para qualquer h (desde que h\neq 0). Em problemas reais com funções mais complicadas, você verá que reduzir h normalmente reduz o erro até um ponto — mas também pode aparecer erro numérico por cancelamento e arredondamento se h ficar muito pequeno. Aqui não temos esses efeitos, porque a fórmula é algebraicamente exata para x^{2}.
Incentivo: experimentar com outras funções (por exemplo f(x)=\sin x ou f(x)=\mathrm{e}^{x}) usando o mesmo código e a mesma lista de h mostrará a típica convergência dos erros (erro decrescendo aproximadamente como h^{2} para a diferença central) — vale a pena testar isso para fixar o conceito.