3 Use aproximações por diferenças centradas para obter estimativas para a primeira e a segunda derivadas de \mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} em \mathrm{x}=2 \operatorname{com} \mathrm{~h}=0,1.

Passo 1

O enunciado pede que eu obtenha estimativas para a primeira e a segunda derivadas de y=\mathrm{e}^{x} no ponto x=2 usando aproximações por diferenças centradas com passo h=0,1. Informações dadas:
\text{Função: } y=\mathrm{e}^{x}çã
\text{Ponto: } x=2
\text{Passo: } h=0,1

Perguntas claras: aproximar y'(2) e y''(2) usando fórmulas centradas (ou seja, envolvendo x+h e x-h).

Passo 2

Vou apresentar as fórmulas de diferenças centradas que usaremos e explicar por que elas funcionam (didaticamente, com Taylor). As fórmulas (que são padrão) são:
\text{(1) } f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\quad\text{(diferença centrada de primeira derivada)}ç
\text{(2) } f''(x)\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}\quad\text{(diferença centrada de segunda derivada)}ç
Explicação rápida por Taylor (intuição): expandindo f(x+h) e f(x-h) em série de Taylor em torno de x,
f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x)+\frac{h^{3}}{6}f^{(3)}(x)+\cdots
f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x)-\frac{h^{3}}{6}f^{(3)}(x)+\cdots
Subtraindo as duas expansões cancela os termos de ordem par e isola f'(x), levando à fórmula (1) com erro da ordem de h^{2}. Somando as duas expansões cancela os termos ímpares e permite isolar f''(x), resultando na fórmula (2) com erro também da ordem de h^{2}. Ou seja, ambas as fórmulas têm erro proporcional a h^{2} (por isso são boas para h pequeno).

Passo 3

Agora aplico as fórmulas ao nosso caso f(x)=\mathrm{e}^{x}, x=2, h=0,1. Precisarei de f(2-h)=\mathrm{e}^{1,9}, f(2)=\mathrm{e}^{2} e f(2+h)=\mathrm{e}^{2,1}.

Passo 4

Vamos calcular (ou estimar com boa precisão) esses valores exponenciais. É útil usar que \mathrm{e}^{2} é conhecido e que \mathrm{e}^{2\pm 0,1}=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{\pm 0,1}. Valores que vou usar (arredondados com precisão suficiente para a prova):
\mathrm{e}^{2}\approx 7,389056099
Uma forma simples de obter \mathrm{e}^{0,1} é pela série de Taylor:
\mathrm{e}^{0,1}=1+0,1+\frac{0,1^{2}}{2}+\frac{0,1^{3}}{6}+\frac{0,1^{4}}{24}+\cdots \approx 1,105170918
Logo \mathrm{e}^{-0,1}=1/\mathrm{e}^{0,1}\approx 0,904837418.
Multiplicando:
\mathrm{e}^{2,1}=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{0,1}\approx 7,389056099\times 1,105170918\approx 8,166169913
\mathrm{e}^{1,9}=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{-0,1}\approx 7,389056099\times 0,904837418\approx 6,685894442

Passo 5

Calculo da primeira derivada pela fórmula centrada. A fórmula é
f'(2)\approx \frac{f(2+0,1)-f(2-0,1)}{2\cdot 0,1}=\frac{\mathrm{e}^{2,1}-\mathrm{e}^{1,9}}{0,2}.
Substituindo os valores numéricos:
\mathrm{e}^{2,1}-\mathrm{e}^{1,9}\approx 8,166169913-6,685894442=1,480275471.
Dividindo por 0,2:
f'(2)\approx \frac{1,480275471}{0,2}=7,401377355.
Interpretação: a derivada exata é f'(2)=\mathrm{e}^{2}\approx 7,389056099. A aproximação com diferenças centradas deu 7,401377355, erro absoluto aproximadamente 0,0123 (erro relativo cerca de 0,17\%). Isso é consistente com a ordem de erro O(h^{2}) para h=0,1.

Passo 6

Calculo da segunda derivada pela fórmula centrada. A fórmula é
f''(2)\approx \frac{f(2+0,1)-2f(2)+f(2-0,1)}{0,1^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{2,1}-2\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{1,9}}{0,01}.
Substituindo os valores:
\mathrm{e}^{2,1}-2\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{1,9}\approx 8,166169913-2\cdot 7,389056099+6,685894442.
Calculo em etapas:
2\cdot 7,389056099=14,778112198,
8,166169913+6,685894442=14,852064355,
\text{numerador}\approx 14,852064355-14,778112198=0,073952157.
Dividindo por 0,01:
f''(2)\approx \frac{0,073952157}{0,01}=7,3952157.
Comparação: f''(2) exato é \mathrm{e}^{2}\approx 7,389056099. O erro absoluto aqui é aproximadamente 0,00616, ainda pequeno e coerente com erro O(h^{2}).

Passo 7

Comentários finais e intuição para a prova: a fórmula centrada usa simetria em torno de x (valores em x+h e x-h), o que cancela termos de ordem ímpar na expansão de Taylor e produz aproximações de maior ordem (aqui O(h^{2})). Na prova, basta lembrar as fórmulas (1) e (2), calcular f em x\pm h com cuidado e fazer as contas. Para reduzir erro, escolha h menor — desde que não haja problemas de arredondamento na máquina. Boa notícia: com h=0,1 as aproximações já ficam bem próximas do valor exato \mathrm{e}^{2}.

Resposta

f'(2)\approx 7,401377355
f''(2)\approx 7,395215700

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