3 Use aproximações por diferenças centradas para obter estimativas para a primeira e a segunda derivadas de
em
.
Passo 1
O enunciado pede que eu obtenha estimativas para a primeira e a segunda derivadas de
no ponto
usando aproximações por diferenças centradas com passo
. Informações dadas:
Perguntas claras: aproximar
Passo 2
Vou apresentar as fórmulas de diferenças centradas que usaremos e explicar por que elas funcionam (didaticamente, com Taylor). As fórmulas (que são padrão) são:
Explicação rápida por Taylor (intuição): expandindo
e
em série de Taylor em torno de
,
Subtraindo as duas expansões cancela os termos de ordem par e isola
, levando à fórmula (1) com erro da ordem de
. Somando as duas expansões cancela os termos ímpares e permite isolar
, resultando na fórmula (2) com erro também da ordem de
. Ou seja, ambas as fórmulas têm erro proporcional a
(por isso são boas para
pequeno).
Passo 3
Agora aplico as fórmulas ao nosso caso
,
,
. Precisarei de
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular (ou estimar com boa precisão) esses valores exponenciais. É útil usar que
é conhecido e que
. Valores que vou usar (arredondados com precisão suficiente para a prova):
Uma forma simples de obter
é pela série de Taylor:
Logo
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Passo 5
Calculo da primeira derivada pela fórmula centrada. A fórmula é
Substituindo os valores numéricos:
Dividindo por
:
Interpretação: a derivada exata é
. A aproximação com diferenças centradas deu
, erro absoluto aproximadamente
(erro relativo cerca de
). Isso é consistente com a ordem de erro
para
.
Passo 6
Calculo da segunda derivada pela fórmula centrada. A fórmula é
Substituindo os valores:
Calculo em etapas:
Dividindo por
:
Comparação:
exato é
. O erro absoluto aqui é aproximadamente
, ainda pequeno e coerente com erro
.
Passo 7
Comentários finais e intuição para a prova: a fórmula centrada usa simetria em torno de
(valores em
e
), o que cancela termos de ordem ímpar na expansão de Taylor e produz aproximações de maior ordem (aqui
). Na prova, basta lembrar as fórmulas (1) e (2), calcular
em
com cuidado e fazer as contas. Para reduzir erro, escolha
menor — desde que não haja problemas de arredondamento na máquina. Boa notícia: com
as aproximações já ficam bem próximas do valor exato
.